確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立で、それぞれの確率分布が与えられている。積 $XY$ の期待値 $E[XY]$ を求める。$X$ は $1$ と $3$ の値をとり、それぞれの確率は $P(X=1) = \frac{2}{3}$、$P(X=3) = \frac{1}{3}$ である。$Y$ は $2$ と $4$ の値をとり、それぞれの確率は $P(Y=2) = \frac{4}{5}$、$P(Y=4) = \frac{1}{5}$ である。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ が互いに独立で、それぞれの確率分布が与えられている。積 $XY$ の期待値 $E[XY]$ を求める。$X$ は $1$ と $3$ の値をとり、それぞれの確率は $P(X=1) = \frac{2}{3}$、$P(X=3) = \frac{1}{3}$ である。$Y$ は $2$ と $4$ の値をとり、それぞれの確率は $P(Y=2) = \frac{4}{5}$、$P(Y=4) = \frac{1}{5}$ である。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ と $Y$ が独立なので、$E[XY] = E[X]E[Y]$ が成り立つ。

まず、$E[X]$ を計算する。

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 3 \cdot P(X=3) = 1 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

次に、$E[Y]$ を計算する。

$E[Y] = 2 \cdot P(Y=2) + 4 \cdot P(Y=4) = 2 \cdot \frac{4}{5} + 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{5} + \frac{4}{5} = \frac{12}{5}$

最後に、$E[XY] = E[X]E[Y]$ を計算する。

$E[XY] = E[X]E[Y] = \frac{5}{3} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 5} = \frac{12}{3} = 4$

3. 最終的な答え

$E[XY] = 4$