この問題は、2012年における47都道府県別の人口あたりの耕地面積（ha/千人）を変量 $x$ 、食料自給率（%）を変量 $y$ として、与えられた散布図から情報を読み取り、統計的な解析を行うものです。 (1) 変量 $x$ と変量 $y$ の相関係数 $r$ の範囲を求めます。 (2) 散布図から読み取れる内容として正しいものを選択します。 (3) 耕地面積の単位を変更した際の、分散と共分散、相関係数の変化を計算します。 (4) 与えられた説明の正誤を判断します。

1. 問題の内容

この問題は、2012年における47都道府県別の人口あたりの耕地面積（ha/千人）を変量 $x$ 、食料自給率（%）を変量 $y$ として、与えられた散布図から情報を読み取り、統計的な解析を行うものです。

(1) 変量 $x$ と変量 $y$ の相関係数 $r$ の範囲を求めます。

(2) 散布図から読み取れる内容として正しいものを選択します。

(3) 耕地面積の単位を変更した際の、分散と共分散、相関係数の変化を計算します。

(4) 与えられた説明の正誤を判断します。

2. 解き方の手順

(1)

散布図を見ると、$x$ が増加すると $y$ も増加する傾向が見られるため、正の相関があると考えられます。また、点は比較的直線に近い分布をしているため、相関は強いと考えられます。よって、$0.7 \le r \le 1$ が適切です。

(2)

選択肢を順番に検討します。

* 食料自給率が150%以上の都道府県は、散布図から判断すると、人口あたりの耕地面積が200 ha/千人以上ではありません。

* 人口あたりの耕地面積が100 ha/千人以下であり、かつ食料自給率が100%を超える都道府県が存在します。

* 変量 $x$ のデータの中央値は100 ha/千人と150 ha/千人の間にあります。

したがって、正しいのは「人口あたりの耕地面積が100ha/千人以下であり、かつ食料自給率が100%を超える都道府県がある」です。

(3)

面積の単位を ha から km² に変更すると、$100 \text{ ha} = 1 \text{ km}^2$ より、$x' = \frac{x}{100}$ となります。

分散 $X$ と $X'$ の関係は、$X' = \left(\frac{1}{100}\right)^2 X = \frac{1}{10000}X$ なので、$\frac{X'}{X} = \frac{1}{10000}$ です。

共分散 $Z$ と $W$ の関係は、$W = \frac{1}{100}Z$ なので、$\frac{W}{Z} = \frac{1}{100}$ です。

相関係数 $U$ と $V$ は単位変換の影響を受けないので、$\frac{V}{U} = 1$ です。

(4)

この問題は画像がないため、回答できません。

3. 最終的な答え

(1) $0.7 \le r \le 1$

(2) ①

(3)

* ウ: $\frac{1}{10000}$

* エ: $\frac{1}{100}$

* オ: $1$