(1) 散布図から、人口あたりの耕地面積と食料自給率の相関係数$r$の範囲を求める。 (2) 散布図から読み取れる内容として正しいものを選ぶ。 (3) 耕地面積の単位をhaからkm$^2$に変更したとき、関連する統計量の変換を計算する。具体的には、$X'/X$, $W/Z$, $V/U$を求める。ここで$X$はha単位の耕地面積の分散、$X'$はkm$^2$単位の耕地面積の分散、$Z$はha単位の耕地面積と食料自給率の共分散、$W$はkm$^2$単位の耕地面積と食料自給率の共分散、$U$はha単位の耕地面積と食料自給率の相関係数、$V$はkm$^2$単位の耕地面積と食料自給率の相関係数。 (4) 面積の単位をhaからm$^2$に変更したときの人口あたりの耕地面積を変量$x''$として、以下の文[A]～[C]の正誤を判断する。 　[A] $x'$と$y$の散布図の点は右下がりの直線に沿って分布する傾向にある。 　[B] $x''$と$y$の相関係数は$U$と等しい。 　[C] $x''$の分散を$X''$とすると、$X''/X'$は1より小さい。

1. 問題の内容

(1) 散布図から、人口あたりの耕地面積と食料自給率の相関係数$r$の範囲を求める。

(2) 散布図から読み取れる内容として正しいものを選ぶ。

(3) 耕地面積の単位をhaからkm$^2$に変更したとき、関連する統計量の変換を計算する。具体的には、$X'/X$, $W/Z$, $V/U$を求める。ここで$X$はha単位の耕地面積の分散、$X'$はkm$^2$単位の耕地面積の分散、$Z$はha単位の耕地面積と食料自給率の共分散、$W$はkm$^2$単位の耕地面積と食料自給率の共分散、$U$はha単位の耕地面積と食料自給率の相関係数、$V$はkm$^2$単位の耕地面積と食料自給率の相関係数。

(4) 面積の単位をhaからm$^2$に変更したときの人口あたりの耕地面積を変量$x''$として、以下の文[A]～[C]の正誤を判断する。

　[A] $x'$と$y$の散布図の点は右下がりの直線に沿って分布する傾向にある。

　[B] $x''$と$y$の相関係数は$U$と等しい。

　[C] $x''$の分散を$X''$とすると、$X''/X'$は1より小さい。

2. 解き方の手順

(1) 散布図を見ると、右上がりの傾向が見られるため、相関係数は正であり、0.7から1の範囲内にあると考えられる。

(2) 散布図から読み取ると、人口あたりの耕地面積が100ha/千人以下であり、かつ食料自給率が100%を超える都道府県が存在することがわかる。

(3)

* $100 \, \text{ha} = 1 \, \text{km}^2$より、$\text{ha} = \frac{1}{100} \text{km}^2$。よって、$x' = \frac{x}{100}$となる。分散は2乗に比例するため、$X' = \left(\frac{1}{100}\right)^2 X = \frac{1}{10000} X$。よって、$\frac{X'}{X} = \frac{1}{10000}$。

* 共分散は面積の単位の積に比例するため、$W = \frac{1}{100} Z$。よって、$\frac{W}{Z} = \frac{1}{100}$。

* 相関係数は単位に依存しないため、$U = V$。よって、$\frac{V}{U} = 1$。

(4)

* [A] $x'$と$y$の散布図の点は右下がりの直線に沿って分布する傾向にある。これは誤り。もとの$x$と$y$が右上がりの相関を持っていたので、$x'$も同様に$y$と右上がりの相関を持つ。

* [B] $x''$と$y$の相関係数は$U$と等しい。これは正しい。相関係数は面積の単位に依存しない。

* [C] $x''$の分散を$X''$とすると、$X''/X'$は1より小さい。これは正しい。$\text{ha} = 10^4 \, \text{m}^2$なので、$x'' = 10^4x$。よって、$X'' = (10^4)^2X = 10^8X$。また、$X' = \frac{X}{10^4}$だったので、$X''/X' = \frac{10^8X}{X/10^4} = 10^{12}$。このことからわかるように$X''/X'$は1より小さいとはならない。$\frac{X''}{X'} = \frac{(10000)^2 \cdot X}{\frac{1}{10000} X} = 10^{12}$ となり、$X''/X'$の値は1より大きい。

3. 最終的な答え

(1) ア: ④ 0.7 ≤ r ≤ 1

(2) イ: ① 人口あたりの耕地面積が100 ha/千人以下であり、かつ食料自給率が100%を超える都道府県がある。

(3) ウ: ⑨ 1/10000

　　エ: ⑥ 1/100

　　オ: ① 1

(4) カ: ⑤ 誤正誤