10人で2人のペアを作り自己紹介をする。自己紹介は全部で何回行われるか？

1. 問題の内容

10人で2人のペアを作り自己紹介をする。自己紹介は全部で何回行われるか？

2. 解き方の手順

まず、10人を2人ずつのペアに分ける組み合わせの数を求めます。これは10人から2人を選ぶ組み合わせを計算し、次に残りの8人から2人を選ぶ組み合わせを計算し、というように繰り返していくことで求められます。ただし、ペアの順番は考慮しないため、重複を避ける必要があります。

10人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_{10}C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ 通りです。

次に、残りの8人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_{8}C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

次に、残りの6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_{6}C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通りです。

次に、残りの4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_{4}C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_{2}C_2 = \frac{2!}{2!0!} = 1$ 通りです。

したがって、ペアの組み合わせの総数は $45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1$ です。

しかし、これはペアの順番を考慮してしまっているので、ペアの数（ここでは5）の階乗で割る必要があります。つまり、$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ で割ります。

$\frac{45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{113400}{120} = 945$

これはペアを作る組み合わせの数です。1つのペアができるたびに自己紹介が1回行われるので、自己紹介の回数はペアの数だけあります。5つのペアができるので、自己紹介の回数は945。

自己紹介は各ペアで行われるので、ペアの数だけ自己紹介があります。ペアの総数は、10人を2人ずつのグループに分ける組み合わせの数と等しくなります。上記の計算よりこれは945通りです。それぞれのペアは自己紹介をするので、総自己紹介数は945となります。

ただし、問題文をよく読むと、各ペアの中で2人がそれぞれ自己紹介をすると解釈できます。この場合、1つのペアあたり2回の自己紹介が行われることになります。したがって、自己紹介の総回数は $945 \times 2 = 1890$ となります。

3. 最終的な答え

945