大小2個のサイコロを同時に投げ、それぞれのサイコロの出る目をX, Yとする。確率変数X, Yが独立であることを確かめる問題です。

1. 問題の内容

大小2個のサイコロを同時に投げ、それぞれのサイコロの出る目をX, Yとする。確率変数X, Yが独立であることを確かめる問題です。

2. 解き方の手順

確率変数 X と Y が独立であるとは、任意の $x$ と $y$ に対して、

$P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$

が成り立つことです。

* X がとりうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 であり、それぞれの値をとる確率は $P(X = x) = \frac{1}{6}$ です。

* Y がとりうる値も 1, 2, 3, 4, 5, 6 であり、それぞれの値をとる確率は $P(Y = y) = \frac{1}{6}$ です。

X = x かつ Y = y となる確率は、X と Y が独立であると仮定すると、

$P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

となります。

実際に、大小2個のサイコロを投げたとき、目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

それぞれの目の出方は同様に確からしいので、X = x かつ Y = y となる確率は、

$P(X = x, Y = y) = \frac{1}{36}$

となります。

したがって、$P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$ が成り立つので、確率変数 X と Y は独立です。

3. 最終的な答え

確率変数X, Yは独立である。