袋の中に白玉が7個、黒玉が3個入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉の出る回数を確率変数Xとする。確率変数Xの期待値 $E(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉が7個、黒玉が3個入っている。この袋から玉を1個ずつ、元に戻さずに2回続けて取り出す。このとき、白玉の出る回数を確率変数Xとする。確率変数Xの期待値 $E(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

確率変数Xは、0回、1回、2回のいずれかの値をとる。それぞれの確率を計算し、期待値を求める。

* X = 0 のとき（2回とも黒玉が出るとき）

1回目に黒玉が出る確率は $\frac{3}{10}$。

1回目に黒玉が出たとき、2回目に黒玉が出る確率は $\frac{2}{9}$。

したがって、$P(X=0) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$

* X = 1 のとき（白玉が1回、黒玉が1回出るとき）

白玉が最初に、黒玉が次にでる確率は、$\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$

黒玉が最初に、白玉が次にでる確率は、$\frac{3}{10} \times \frac{7}{9} = \frac{21}{90}$

したがって、$P(X=1) = \frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$

* X = 2 のとき（2回とも白玉が出るとき）

1回目に白玉が出る確率は $\frac{7}{10}$。

1回目に白玉が出たとき、2回目に白玉が出る確率は $\frac{6}{9}$。

したがって、$P(X=2) = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$

確率変数Xの期待値E(X)は、以下の式で計算できる。

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$E(X) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{7}{15}$

$E(X) = 0 + \frac{7}{15} + \frac{14}{15} = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{7}{5}$