1個のサイコロを720回投げたとき、1の目が出る回数を$X$とする。 (1) $X$の平均、分散、標準偏差を求めよ。 (2) $X \geq 130$となる確率を、正規分布表を用いて求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを720回投げたとき、1の目が出る回数を$X$とする。

(1) $X$の平均、分散、標準偏差を求めよ。

(2) $X \geq 130$となる確率を、正規分布表を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1回の試行で1の目が出る確率は $p = \frac{1}{6}$ である。

試行回数は $n = 720$ である。

したがって、$X$は二項分布$B(720, \frac{1}{6})$に従う。

平均 $E(X)$ は、

$E(X) = np = 720 \times \frac{1}{6} = 120$

分散 $V(X)$ は、

$V(X) = np(1-p) = 720 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 120 \times \frac{5}{6} = 100$

標準偏差 $\sigma(X)$ は、

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{100} = 10$

(2) $n$が大きいので、$X$は近似的に正規分布$N(120, 100)$に従う。

$Z = \frac{X - 120}{10}$ とおくと、$Z$は標準正規分布$N(0,1)$に従う。

$X \geq 130$ となる確率を求めたいので、

$P(X \geq 130) = P(Z \geq \frac{130 - 120}{10}) = P(Z \geq 1)$

$P(Z \geq 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - P(Z \leq 1)$

標準正規分布表を用いて、$P(Z \leq 1) = 0.8413$

したがって、$P(X \geq 130) = 1 - 0.8413 = 0.1587$

3. 最終的な答え

(1) 平均: 120, 分散: 100, 標準偏差: 10

(2) 0.1587