3つのサイコロを同時に投げ、それぞれのサイコロの出た目を $X$, $Y$, $Z$ とします。このとき、$X + Y + Z$ の分散を求めなさい。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げ、それぞれのサイコロの出た目を $X$, $Y$, $Z$ とします。このとき、$X + Y + Z$ の分散を求めなさい。

2. 解き方の手順

サイコロの目の期待値と分散を計算します。

サイコロの出目の期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

サイコロの出目の二乗の期待値 $E(X^2)$ は、

$E(X^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}$

したがって、サイコロの出目の分散 $V(X)$ は、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$

$X$, $Y$, $Z$ は独立であるから、和の分散は分散の和に等しいです。

$V(X+Y+Z) = V(X) + V(Y) + V(Z)$

$V(X) = V(Y) = V(Z)$ であるから

$V(X+Y+Z) = 3V(X) = 3 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{35}{4}$