3つのサイコロを同時に投げ、それぞれの出目を $X, Y, Z$ とするとき、出目の和 $X+Y+Z$ の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

3つのサイコロを同時に投げ、それぞれの出目を $X, Y, Z$ とするとき、出目の和 $X+Y+Z$ の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

期待値の線形性を用います。

$E[X+Y+Z] = E[X] + E[Y] + E[Z]$

サイコロの出目の期待値は、各目の出る確率が等しいので、

$E[X] = \frac{1}{6} \times 1 + \frac{1}{6} \times 2 + \frac{1}{6} \times 3 + \frac{1}{6} \times 4 + \frac{1}{6} \times 5 + \frac{1}{6} \times 6 = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

同様に、$E[Y] = 3.5$ および $E[Z] = 3.5$ となります。

したがって、

$E[X+Y+Z] = E[X] + E[Y] + E[Z] = 3.5 + 3.5 + 3.5 = 10.5$

3. 最終的な答え

$X+Y+Z$ の期待値は $10.5$ です。