問題13は、根号を含む数の乗法と除法の計算問題です。 問題14は、$\sqrt{20a}$ が自然数となるような最小の自然数 $a$ を求める問題です。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題13は、根号を含む数の乗法と除法の計算問題です。

問題14は、$\sqrt{20a}$ が自然数となるような最小の自然数 $a$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題13:

(1) $\sqrt{8} \times \sqrt{2}$

$\sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4$

(2) $\sqrt{14} \times \sqrt{21}$

$\sqrt{14 \times 21} = \sqrt{2 \times 7 \times 3 \times 7} = \sqrt{2 \times 3 \times 7^2} = 7\sqrt{6}$

(3) $\sqrt{2} \div \sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

(分母の有理化)

(4) $\sqrt{42} \div \sqrt{14}$

$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{42}{14}} = \sqrt{3}$

問題14:

$\sqrt{20a}$ が自然数となるためには、根号の中が平方数になる必要があります。

20を素因数分解すると、$20 = 2^2 \times 5$ です。

したがって、$\sqrt{20a} = \sqrt{2^2 \times 5 \times a}$ となります。

$5 \times a$ が平方数になるためには、$a$ が少なくとも5の倍数である必要があります。

$a$ が最小の自然数となるのは、$a = 5$ のときです。

このとき、$\sqrt{20a} = \sqrt{20 \times 5} = \sqrt{100} = 10$ となり、自然数になります。

3. 最終的な答え

問題13:

(1) 4

(2) $7\sqrt{6}$

(3) $\frac{\sqrt{10}}{5}$

(4) $\sqrt{3}$

問題14:

5