与えられた8つの計算問題を解く。これらの問題は、平方根を含む式の加算、減算、乗算、除算を含む。

1. 問題の内容

与えられた8つの計算問題を解く。これらの問題は、平方根を含む式の加算、減算、乗算、除算を含む。

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{7} + 5\sqrt{7}$:

$\sqrt{7}$ を共通因数としてまとめる。

$2\sqrt{7} + 5\sqrt{7} = (2+5)\sqrt{7} = 7\sqrt{7}$

(2) $6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}$:

$\sqrt{5}$ を共通因数としてまとめる。

$6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = (6-2)\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

(3) $3\sqrt{7} - 3 - 2\sqrt{7} + 2$:

$\sqrt{7}$ を含む項と定数項をそれぞれまとめる。

$3\sqrt{7} - 2\sqrt{7} - 3 + 2 = (3-2)\sqrt{7} + (-3+2) = \sqrt{7} - 1$

(4) $\sqrt{18} + \sqrt{50}$:

$\sqrt{18}$ と $\sqrt{50}$ をそれぞれ簡略化する。

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

したがって、$\sqrt{18} + \sqrt{50} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

(5) $\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}}$:

分母を払うために、第2項の分母を有理化する。

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

したがって、$\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

共通の分母10を見つけ、式を書き換える。

$\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5\sqrt{5}}{10} + \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{10} = \frac{7\sqrt{5}}{10}$

(6) $2\sqrt{3} + \sqrt{27} - \frac{12}{\sqrt{3}}$:

$\sqrt{27}$ を簡略化し、$\frac{12}{\sqrt{3}}$ を有理化する。

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$

したがって、$2\sqrt{3} + \sqrt{27} - \frac{12}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2+3-4)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$

(7) $2\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{6})$:

分配法則を用いて展開し、$\sqrt{12}$ を簡略化する。

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{3}(2\sqrt{3} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 4(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{18} = 4(3) - 2\sqrt{9 \times 2} = 12 - 2(3\sqrt{2}) = 12 - 6\sqrt{2}$

(8) $(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2})$:

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形である。

$(\sqrt{7} + \sqrt{2})(\sqrt{7} - \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2 = 7 - 2 = 5$

3. 最終的な答え

(1) $7\sqrt{7}$

(2) $4\sqrt{5}$

(3) $\sqrt{7} - 1$

(4) $8\sqrt{2}$

(5) $\frac{7\sqrt{5}}{10}$

(6) $\sqrt{3}$

(7) $12 - 6\sqrt{2}$

(8) $5$