2次方程式 $2x^2 - 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$, $(\alpha - \beta)^2$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$, $(\alpha - \beta)^2$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $2x^2 - 6x + 3 = 0$ を $x^2 - 3x + \frac{3}{2} = 0$ と変形する。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = \frac{3}{2}$

が成り立つ。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 9 - 3 = 6$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ を求める。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$= 3(3^2 - 3 \cdot \frac{3}{2}) = 3(9 - \frac{9}{2}) = 3 \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{2}$

(3) $(\alpha - \beta)^2$ を求める。

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 3^2 - 4 \cdot \frac{3}{2} = 9 - 6 = 3$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 6$

$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{27}{2}$

$(\alpha - \beta)^2 = 3$