多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが2、$x-4$ で割ると余りが20である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - 2x - 8$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが2、$x-4$ で割ると余りが20である。このとき、$P(x)$ を $x^2 - 2x - 8$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 2x - 8$ を因数分解します。

$$x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x-4)$$

$P(x)$ を $(x+2)(x-4)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおくと、

$$P(x) = (x+2)(x-4)Q(x) + ax + b$$

と表せる。ここで、$Q(x)$ は商である。

$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが2であるから、$P(-2) = 2$ である。

$$P(-2) = (-2+2)(-2-4)Q(-2) + a(-2) + b = -2a + b = 2$$

$P(x)$ を $x-4$ で割った余りが20であるから、$P(4) = 20$ である。

$$P(4) = (4+2)(4-4)Q(4) + a(4) + b = 4a + b = 20$$

$-2a + b = 2$ と $4a + b = 20$ という連立方程式を解く。

2つの式を引き算すると、

$$(4a+b) - (-2a+b) = 20 - 2$$

$$6a = 18$$

$$a = 3$$

$a = 3$ を $-2a+b = 2$ に代入すると、

$$-2(3) + b = 2$$

$$-6 + b = 2$$

$$b = 8$$

したがって、余りは $3x+8$ である。

3. 最終的な答え

余り: $3x + 8$