2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) 異なる2つの実数解をもつときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (2) 実数解をもたないときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 異なる2つの実数解をもつときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(2) 実数解をもたないときの、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$ の判別式を $D$ とします。

$D = (-2)^2 - 4(1)(m-1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m$

(1) 異なる2つの実数解をもつとき、$D > 0$ である必要があります。

$8 - 4m > 0$

$4m < 8$

$m < 2$

(2) 実数解をもたないとき、$D < 0$ である必要があります。

$8 - 4m < 0$

$4m > 8$

$m > 2$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの実数解をもつとき、$m < 2$

(2) 実数解をもたないとき、$m > 2$