複素数の計算問題です。以下の3つの複素数の式を計算して、最も簡単な形で表す必要があります。 (1) $\frac{1+2i}{2+3i}$ (2) $\frac{1-i}{1+i}$ (3) $\frac{5i}{2-i}$

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。以下の3つの複素数の式を計算して、最も簡単な形で表す必要があります。

(1) $\frac{1+2i}{2+3i}$

(2) $\frac{1-i}{1+i}$

(3) $\frac{5i}{2-i}$

2. 解き方の手順

複素数の割り算を行うには、分母の共役複素数を分母と分子の両方に掛けます。

(1) $\frac{1+2i}{2+3i}$ の場合

分母の共役複素数は $2-3i$ です。

$\frac{1+2i}{2+3i} = \frac{(1+2i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2 - 3i + 4i - 6i^2}{4 - 6i + 6i - 9i^2}$

$i^2 = -1$ なので、

$= \frac{2 + i + 6}{4 + 9} = \frac{8+i}{13} = \frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$

(2) $\frac{1-i}{1+i}$ の場合

分母の共役複素数は $1-i$ です。

$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - i - i + i^2}{1 - i + i - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 + 1} = \frac{-2i}{2} = -i$

(3) $\frac{5i}{2-i}$ の場合

分母の共役複素数は $2+i$ です。

$\frac{5i}{2-i} = \frac{5i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10i + 5i^2}{4 + 2i - 2i - i^2} = \frac{10i - 5}{4 + 1} = \frac{-5+10i}{5} = -1 + 2i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{13} + \frac{1}{13}i$

(2) $-i$

(3) $-1 + 2i$