与えられたベクトルの演算、ベクトルの長さの計算、ベクトルを用いた点の移動、ベクトルによる表現に関する問題です。具体的には、以下の問いに答えます。 (3) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の長さと、同じ向きで長さが1のベクトルを求める。 (4) 点P(1,1)からベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の向きに距離3だけ進んだ点の座標を求める。 (5) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{y} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、 (a) $2\vec{x} + 3\vec{y}$, (b) $\vec{x} - \vec{y}$, (c) $-3\vec{x} + 2\vec{y}$ を求める。 (6) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ の形で表す。

1. 問題の内容

与えられたベクトルの演算、ベクトルの長さの計算、ベクトルを用いた点の移動、ベクトルによる表現に関する問題です。具体的には、以下の問いに答えます。

(3) ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の長さと、同じ向きで長さが1のベクトルを求める。

(4) 点P(1,1)からベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の向きに距離3だけ進んだ点の座標を求める。

(5) $\vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{y} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、

(a) $2\vec{x} + 3\vec{y}$,

(b) $\vec{x} - \vec{y}$,

(c) $-3\vec{x} + 2\vec{y}$ を求める。

(6) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ とするとき、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を $\alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

(3) ベクトルの長さは、各成分の2乗の和の平方根で求めます。$\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ の長さは $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ です。同じ向きで長さが1のベクトルは、元のベクトルをその長さで割ることで得られます。

(4) ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の単位ベクトルを求め、それを3倍したものを点P(1,1)の座標に足し合わせます。$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ の長さは $\sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ なので、単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$ です。距離3だけ進んだ点の座標は、$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\ \frac{-2}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{3}{\sqrt{5}} \\ 1 - \frac{6}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$ です。

(5) ベクトルの演算は、各成分ごとに行います。

(a) $2\vec{x} + 3\vec{y} = 2\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

(b) $\vec{x} - \vec{y} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

(c) $-3\vec{x} + 2\vec{y} = -3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11 \\ -4 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ より、

$x = 2\alpha + \beta$

$y = \alpha + \beta$

これらの式を解くと、$\alpha = x - y$, $\beta = 2y - x$ となります。よって、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (x-y) \vec{a} + (2y-x) \vec{b}$ です。

3. 最終的な答え

(3) 長さ: 5, 同じ向きで長さが1のベクトル: $\begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 1 + \frac{3}{\sqrt{5}} \\ 1 - \frac{6}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

(5) (a) $\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$, (b) $\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$, (c) $\begin{pmatrix} -11 \\ -4 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (x-y) \vec{a} + (2y-x) \vec{b}$