1以上10以下の自然数全体の集合を$S$とし、$S$を普遍集合とする。集合$A, B, C, D$が以下のように定義されている。 $A = \{x | x \le 5\}$ $B = \{x | x > 3\}$ $C = \{x | x > 7\}$ $D = \{x | x^2 - 9x + 20 = 0\}$ 次の(1)から(5)の中で成り立つものを全て指摘する。 (1) $A \subset D$ (2) $(A \cap B) \subset D$ (3) $S \subset (A \cup C)$ (4) $(A \cap C) \subset D$ (5) $A \subset A - C$

1. 問題の内容

1以上10以下の自然数全体の集合を$S$とし、$S$を普遍集合とする。集合$A, B, C, D$が以下のように定義されている。

$A = \{x | x \le 5\}$

$B = \{x | x > 3\}$

$C = \{x | x > 7\}$

$D = \{x | x^2 - 9x + 20 = 0\}$

次の(1)から(5)の中で成り立つものを全て指摘する。

(1) $A \subset D$

(2) $(A \cap B) \subset D$

(3) $S \subset (A \cup C)$

(4) $(A \cap C) \subset D$

(5) $A \subset A - C$

2. 解き方の手順

まず、各集合の要素を具体的に書き出す。

$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

$B = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$C = \{8, 9, 10\}$

$x^2 - 9x + 20 = 0$ を解くと $(x-4)(x-5) = 0$ より $x = 4, 5$

$D = \{4, 5\}$

(1) $A \subset D$ : $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ であり、$D = \{4, 5\}$ であるため、$A$は$D$の部分集合ではない。よって、(1)は成り立たない。

(2) $(A \cap B) \subset D$ : $A \cap B = \{4, 5\}$ であり、$D = \{4, 5\}$ であるため、$A \cap B = D$となり、$A \cap B \subset D$は成り立つ。

(3) $S \subset (A \cup C)$ : $A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10\}$ であり、$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ であるため、$S$は$A \cup C$の部分集合ではない。よって、(3)は成り立たない。

(4) $(A \cap C) \subset D$ : $A \cap C = \emptyset$ であり、$D = \{4, 5\}$ であるため、空集合は任意の集合の部分集合なので、$A \cap C \subset D$ は成り立つ。

(5) $A \subset A - C$ : $A - C = \{1, 2, 3, 4, 5\} - \{8, 9, 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ である。$A = A - C$なので、$A \subset A - C$は成り立つ。

3. 最終的な答え

(2), (4), (5)