次の4つの条件を満たす球面の方程式をそれぞれ求める問題です。 (1) 原点を中心とする半径3の球面 (2) 点(1, 2, -3)を中心とする半径4の球面 (3) 点A(0, 4, 1)を中心とし、点B(2, 4, 5)を通る球面 (4) 2点A(2, 0, -3), B(-2, 6, 1)を直径の両端とする球面

1. 問題の内容

次の4つの条件を満たす球面の方程式をそれぞれ求める問題です。

(1) 原点を中心とする半径3の球面

(2) 点(1, 2, -3)を中心とする半径4の球面

(3) 点A(0, 4, 1)を中心とし、点B(2, 4, 5)を通る球面

(4) 2点A(2, 0, -3), B(-2, 6, 1)を直径の両端とする球面

2. 解き方の手順

球面の方程式は、中心を$(a, b, c)$、半径を$r$とすると、

$(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$

で表されます。

(1) 中心が原点(0, 0, 0)、半径が3なので、$a=0, b=0, c=0, r=3$を代入します。

(2) 中心が(1, 2, -3)、半径が4なので、$a=1, b=2, c=-3, r=4$を代入します。

(3) 中心がA(0, 4, 1)なので、$a=0, b=4, c=1$。点B(2, 4, 5)を通ることから、半径$r$はAとBの距離として計算できます。

$r = \sqrt{(2-0)^2 + (4-4)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$

(4) 2点A(2, 0, -3)とB(-2, 6, 1)が直径の両端なので、中心はAとBの中点として計算できます。

中心$(a, b, c) = (\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{0 + 6}{2}, \frac{-3 + 1}{2}) = (0, 3, -1)$

半径$r$は、Aと中心の距離として計算できます。

$r = \sqrt{(2-0)^2 + (0-3)^2 + (-3-(-1))^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + z^2 = 9$

(2) $(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z+3)^2 = 16$

(3) $x^2 + (y-4)^2 + (z-1)^2 = 20$

(4) $x^2 + (y-3)^2 + (z+1)^2 = 17$