与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ で表されます。ただし、$n \ge 2$ です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。数列は、$1 \cdot (n-1)^2 + 2 \cdot (n-2)^2 + 3 \cdot (n-3)^2 + \dots + (n-2) \cdot 2^2 + (n-1) \cdot 1^2$ で表されます。ただし、$n \ge 2$ です。

2. 解き方の手順

数列の一般項を $k(n-k)^2$ と表すことができます。ここで、$k$ は 1 から $n-1$ までの整数です。

したがって、求めるべき和 $S$ は以下のようになります。

$S = \sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)^2$

この和を計算するために、まず $(n-k)^2$ を展開します。

$S = \sum_{k=1}^{n-1} k(n^2 - 2nk + k^2)$

$S = \sum_{k=1}^{n-1} (n^2k - 2nk^2 + k^3)$

$S = n^2 \sum_{k=1}^{n-1} k - 2n \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^3$

ここで、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)^2$

$m = n-1$ として、各和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left(\frac{(n-1)n}{2}\right)^2 = \frac{(n-1)^2n^2}{4}$

これらの結果を $S$ の式に代入します。

$S = n^2 \frac{(n-1)n}{2} - 2n \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)^2n^2}{4}$

$S = \frac{n^3(n-1)}{2} - \frac{n^2(n-1)(2n-1)}{3} + \frac{n^2(n-1)^2}{4}$

$S = \frac{6n^3(n-1) - 4n^2(n-1)(2n-1) + 3n^2(n-1)^2}{12}$

$S = \frac{n^2(n-1)[6n - 4(2n-1) + 3(n-1)]}{12}$

$S = \frac{n^2(n-1)[6n - 8n + 4 + 3n - 3]}{12}$

$S = \frac{n^2(n-1)(n+1)}{12}$

$S = \frac{n^2(n^2 - 1)}{12}$

$S = \frac{n^4 - n^2}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^4 - n^2}{12}$