与えられた4つの分数式の加法・減法の計算問題を解きます。 (1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$ (2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2-x}$ (3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$ (4) $\frac{3x+5}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの分数式の加法・減法の計算問題を解きます。

(1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$

(2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2-x}$

(3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$

(4) $\frac{3x+5}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2}$

通分して計算します。

$\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-2)} + \frac{3(x+1)}{(x+1)(x-2)} = \frac{2x-4+3x+3}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x-1}{(x+1)(x-2)} = \frac{5x-1}{x^2-x-2}$

(2) $\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2-x}$

$x^2-x = x(x-1)$ であることを利用して通分します。

$\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x^2}{x(x-1)} - \frac{1}{x(x-1)} = \frac{x^2-1}{x(x-1)} = \frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{x^2-2x-3}$

$x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)$ であることを利用して通分します。

$\frac{x}{x+1} + \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x(x-3)}{(x+1)(x-3)} + \frac{3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2-3x+3x-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{x^2-1}{(x+1)(x-3)} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-3)} = \frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+5}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+x}$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ 、 $x^2+x = x(x+1)$ であることを利用して通分します。

$\frac{3x+5}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x(x+1)} = \frac{x(3x+5)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2+5x - (x-1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2+4x+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(3x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{3x+1}{x(x-1)} = \frac{3x+1}{x^2-x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5x-1}{x^2-x-2}$

(2) $\frac{x+1}{x}$

(3) $\frac{x-1}{x-3}$

(4) $\frac{3x+1}{x^2-x}$