問題は、パラメータ $t$ を含む直線 $y = (2t+1)x - t^2 - t$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) 直線が特定の点を通るような $t$ が存在するかどうかを判断します。 (2) $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲で変化するとき、直線が通る点 $(x, y)$ 全体の集合が表す図形 $D$ を求めます。

1. 問題の内容

問題は、パラメータ $t$ を含む直線 $y = (2t+1)x - t^2 - t$ について、以下の問いに答えるものです。

(1) 直線が特定の点を通るような $t$ が存在するかどうかを判断します。

(2) $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲で変化するとき、直線が通る点 $(x, y)$ 全体の集合が表す図形 $D$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) I. 直線が点 $(0, 0)$ を通る場合、 $0 = (2t+1) \cdot 0 - t^2 - t$ となり、$t^2 + t = 0$ 、すなわち $t(t+1) = 0$ となります。したがって、$t = 0, -1$ が存在するので、正しいです。

II. 直線が点 $(0, 10)$ を通る場合、$10 = (2t+1) \cdot 0 - t^2 - t$ となり、 $t^2 + t + 10 = 0$ となります。判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = -39 < 0$ なので、$t$ は実数解を持ちません。したがって、誤りです。

III. 直線が点 $(0, -10)$ を通る場合、$-10 = (2t+1) \cdot 0 - t^2 - t$ となり、$t^2 + t - 10 = 0$ となります。判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 41 > 0$ なので、$t$ は実数解を持ちます。したがって、正しいです。

(I, II, III) の正誤の組み合わせは、正、誤、正なので、アの答えは⑤です。

(2) 点 $(a, b)$ が $D$ に含まれる条件は、二次方程式 $t^2 - (2a-1)t - a + b = 0$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲に少なくとも一つの実数解を持つことです。したがって、イの答えは②です。

$f(t) = t^2 - (2x-1)t - x + y$ とおくと、$f(t) = (t - (x - \frac{1}{2}))^2 - (x - \frac{1}{2})^2 - x + y$

$f(t) = (t - (x - \frac{1}{2}))^2 - x^2 + x - \frac{1}{4} - x + y$

$f(t) = (t - (x - \frac{1}{2}))^2 - x^2 + y - \frac{1}{4}$

$-1 \leq t \leq 0$ における $y$ のとり得る値の範囲を考えます。

(i) $x \leq -\frac{1}{2}$ のとき、$-1 \leq t \leq 0$ で $f(t)$ は減少関数なので、$f(-1) = 0$ となる必要があります。$f(-1) = (-1)^2 - (2x - 1)(-1) - x + y = 1 + 2x - 1 - x + y = x + y = 0$ 、すなわち $y = -x$ 。また、$f(0) \geq 0$ より、 $y \geq x$ 。したがって、$-x \geq y \geq -x$ であり、 $y = -x$。

(ii) $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ のとき、 $t = x - \frac{1}{2}$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲にある。したがって、頂点の $y$ 座標が $0$ 以下である必要があり、$y \leq x^2 + \frac{1}{4}$ 。また、$f(-1) \geq 0$ より、$y \geq -x$ かつ $f(0) \geq 0$ より、$y \geq x$ 。

(iii) $x \geq \frac{1}{2}$ のとき、$f(0) = y-x=0$ 、すなわち $y = x$。また、$f(-1) \geq 0$ より、$y \geq -x$。したがって、$y = x$。

(3) $y = (2t+1)x - t^2 - t$ より、$y = 2tx + x - t^2 - t$ であり、 $t$ について整理すると、$t^2 + (1 - 2x)t + y - x = 0$ 。この式を $t$ について解くと、$t = \frac{-(1-2x) \pm \sqrt{(1-2x)^2 - 4(y-x)}}{2}$ 。

$(1 - 2x)^2 - 4(y - x) = 0$ のとき、接点を表すので、$(1-2x)^2 = 4(y - x)$ 、すなわち、$1 - 4x + 4x^2 = 4y - 4x$ となり、$y = x^2 + \frac{1}{4}$ 。

したがって、タの答えは $x^2 + \frac{1}{4}$。

(4) $D$ は放物線 $y = x^2 + \frac{1}{4}$ の下側で、2直線 $y = x$ と $y = -x$ に挟まれた領域になります。したがって、テの答えは②です。

3. 最終的な答え

ア: ⑤

イ: ②

タ: $x^2 + \frac{1}{4}$

テ: ②