放物線 $y = ax^2$ (1) が、点A(3, 1), B(3, 9)を結ぶ線分ABと交わるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求める。 (2) 線分ABと(1)のグラフの交点をPとする。$\triangle OAB$の面積が$\triangle OAP$の面積の2倍となるとき、(ア)点Pの座標を求め、(イ)定数$a$の値を求める。 (3) (1)のグラフ上にあり、$x$座標が5である点をQとする。直線OQの傾きを$m$とするとき、$m$の取り得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ (1) が、点A(3, 1), B(3, 9)を結ぶ線分ABと交わるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 定数 $a$ の取り得る値の範囲を求める。

(2) 線分ABと(1)のグラフの交点をPとする。$\triangle OAB$の面積が$\triangle OAP$の面積の2倍となるとき、(ア)点Pの座標を求め、(イ)定数$a$の値を求める。

(3) (1)のグラフ上にあり、$x$座標が5である点をQとする。直線OQの傾きを$m$とするとき、$m$の取り得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABと放物線が交わる条件を考える。

放物線が点A(3,1)を通るとき、 $1 = a(3^2)$より $a = \frac{1}{9}$。

放物線が点B(3,9)を通るとき、$9 = a(3^2)$より $a = 1$。

線分ABと交わる条件は、$\frac{1}{9} \leqq a \leqq 1$。

(2) $\triangle OAB$の面積は、$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (9-1) = 12$。

$\triangle OAP$の面積が$\triangle OAB$の面積の$\frac{1}{2}$倍なので、$\triangle OAP$の面積は$12 \cdot \frac{1}{2} = 6$。

点Pの$y$座標を$p$とすると、$\triangle OAP$の面積は$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (p-0) = \frac{3}{2} p$。

$\frac{3}{2} p = 6$より、$p = 4$。

点Pは放物線上にあるので、$y = ax^2$に$y = 4$を代入する。また、点Pは線分AB上にあるので、$x=3$である。

したがって、点Pの座標は(3, 4)。

点P(3, 4)は$y = ax^2$上にあるので、$4 = a(3^2)$より $a = \frac{4}{9}$。

(3) 点Qの座標は(5, $25a$)。

直線OQの傾き$m$は、 $m = \frac{25a - 0}{5 - 0} = 5a$。

(1)より、$\frac{1}{9} \leqq a \leqq 1$なので、$\frac{5}{9} \leqq 5a \leqq 5$。

したがって、$\frac{5}{9} \leqq m \leqq 5$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9} \leqq a \leqq 1$

(2) (ア) P(3, 4) (イ) $a = \frac{4}{9}$

(3) $\frac{5}{9} \leqq m \leqq 5$