地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表します。 (2) $E$ が10倍になるときの $M$ の変化量を求めます。

1. 問題の内容

地震のマグニチュード $M$ とエネルギー $E$ の関係について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $\log_{10}E$ を $M$ を用いて表します。

(2) $E$ が10倍になるときの $M$ の変化量を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

問題文より、$M$ が2増えると $E$ が1000倍、つまり $10^3$ 倍になることがわかります。

このことから、$M$ が1増えると $E$ は $10^{3/2}$ 倍になることがわかります。

$M=1.0$ のとき $\log_{10}E = 6.3$ であるから、$M$ が $M$ のときの $\log_{10}E$ は、

$\log_{10}E = 6.3 + \frac{3}{2}(M - 1)$

となります。これを整理すると、

$\log_{10}E = 6.3 + \frac{3}{2}M - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}M + 4.8$

となります。

(2)

$E$ が10倍になるときの $M$ の変化量を $\Delta M$ とすると、$E$ が10倍になったとき、$\log_{10}E$ は $\log_{10}10 = 1$ だけ増加します。

(1) で求めた式より、

$\log_{10}E + 1 = \frac{3}{2}(M + \Delta M) + 4.8$

$\log_{10}E = \frac{3}{2}M + 4.8$

の差をとると、

$1 = \frac{3}{2} \Delta M$

$\Delta M = \frac{2}{3}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log_{10}E = \frac{3}{2}M + 4.8$

(2) $\frac{2}{3}$