初速度 $v_0 = 2.0 \ m/s$ で運動を始めた物体の $v-t$ グラフが与えられている。 (1) $a-t$ グラフを描け。 (2) $t = 2.0 \ s, 4.0 \ s, 8.0 \ s, 12 \ s, 16 \ s$ における速度を求めよ。 (3) $t = 0 \ s$ における位置を原点として、$t = 2.0 \ s, 4.0 \ s, 8.0 \ s, 12 \ s, 16 \ s, 20 \ s$ における位置を $v-t$ グラフの面積から求めよ。 (4) (3)で求めた値を用いて、$x-t$ グラフを描け。

1. 問題の内容

初速度 $v_0 = 2.0 \ m/s$ で運動を始めた物体の $v-t$ グラフが与えられている。

(1) $a-t$ グラフを描け。

(2) $t = 2.0 \ s, 4.0 \ s, 8.0 \ s, 12 \ s, 16 \ s$ における速度を求めよ。

(3) $t = 0 \ s$ における位置を原点として、$t = 2.0 \ s, 4.0 \ s, 8.0 \ s, 12 \ s, 16 \ s, 20 \ s$ における位置を $v-t$ グラフの面積から求めよ。

(4) (3)で求めた値を用いて、$x-t$ グラフを描け。

2. 解き方の手順

(1) 加速度 $a$ は速度 $v$ の時間変化率であり、$v-t$ グラフの傾きとして求められる。

$t = 0 \ s$ から $t = 8.0 \ s$ までの加速度 $a_1$ は、

$a_1 = \frac{12 \ m/s - 2 \ m/s}{8.0 \ s - 0 \ s} = \frac{10}{8} \ m/s^2 = 1.25 \ m/s^2$

$t = 8.0 \ s$ から $t = 20 \ s$ までの加速度 $a_2$ は、

$a_2 = \frac{0 \ m/s - 12 \ m/s}{20 \ s - 8 \ s} = \frac{-12}{12} \ m/s^2 = -1.0 \ m/s^2$

したがって、$0 \leq t < 8 \ s$ で $a = 1.25 \ m/s^2$、$8 \leq t \leq 20 \ s$ で $a = -1.0 \ m/s^2$ となる $a-t$ グラフを描く。

(2) $v-t$ グラフから直接読み取る。

$t = 2.0 \ s$ のとき、$v = 2 + 1.25 \times 2 = 4.5 \ m/s$

$t = 4.0 \ s$ のとき、$v = 2 + 1.25 \times 4 = 7.0 \ m/s$

$t = 8.0 \ s$ のとき、$v = 12 \ m/s$

$t = 12 \ s$ のとき、$v = 12 - 1 \times 4 = 8 \ m/s$

$t = 16 \ s$ のとき、$v = 12 - 1 \times 8 = 4 \ m/s$

(3) 位置は $v-t$ グラフの面積で表される。

$t = 2.0 \ s$ のとき、$x = \frac{1}{2} (2+4.5) \times 2 = 6.5 \ m$

$t = 4.0 \ s$ のとき、$x = \frac{1}{2} (2+7) \times 4 = 18 \ m$

$t = 8.0 \ s$ のとき、$x = \frac{1}{2} (2+12) \times 8 = 56 \ m$

$t = 12 \ s$ のとき、$x = 56 + \frac{1}{2} (12+8) \times 4 = 56 + 40 = 96 \ m$

$t = 16 \ s$ のとき、$x = 96 + \frac{1}{2} (12+4) \times 4 = 96 + 32 = 128 \ m$

$t = 20 \ s$ のとき、$x = 128 + \frac{1}{2} (12+0) \times 4 = 128 + 24 = 152 \ m$

(4) (3)で求めた値を用いて、$x-t$ グラフを描く。

3. 最終的な答え

(1) $a-t$ グラフは、$0 \leq t < 8 \ s$ で $a = 1.25 \ m/s^2$、$8 \leq t \leq 20 \ s$ で $a = -1.0 \ m/s^2$ のグラフ。

(2)

$t = 2.0 \ s$ のとき、$v = 4.5 \ m/s$

$t = 4.0 \ s$ のとき、$v = 7.0 \ m/s$

$t = 8.0 \ s$ のとき、$v = 12 \ m/s$

$t = 12 \ s$ のとき、$v = 8 \ m/s$

$t = 16 \ s$ のとき、$v = 4 \ m/s$

(3)

$t = 2.0 \ s$ のとき、$x = 6.5 \ m$

$t = 4.0 \ s$ のとき、$x = 18 \ m$

$t = 8.0 \ s$ のとき、$x = 56 \ m$

$t = 12 \ s$ のとき、$x = 96 \ m$

$t = 16 \ s$ のとき、$x = 128 \ m$

$t = 20 \ s$ のとき、$x = 152 \ m$

(4) (3)で求めた値を用いて、$x-t$ グラフを描く。