与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ と $y$ の2変数を含むので、どちらかの変数に着目して整理してみます。ここでは $x$ について整理します。

$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1 = 2x^2 + (6y + 1)x - (3y + 1)$

この式が $(ax+b)(cx+d)$ の形に因数分解できると仮定すると、$ac = 2$、$ad + bc = 6y + 1$、$bd = -(3y+1)$ となります。

$ac=2$ より、$(a, c) = (2, 1)$ または $(1, 2)$ が考えられます。また、$bd = -(3y+1)$ より、$b$ と $d$ の符号は異なり、片方が定数、もう片方が $y$ を含む式になることが予想されます。

試行錯誤の結果、$2x^2 + (6y+1)x - (3y+1) = (2x - 1)(x + 3y + 1)$ と因数分解できることがわかります。

実際に展開してみると

$(2x - 1)(x + 3y + 1) = 2x^2 + 6xy + 2x - x - 3y - 1 = 2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(2x - 1)(x + 3y + 1)$