$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{13^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。正しいものがなければ⑤を選びます。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{13^k}$ の値を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。正しいものがなければ⑤を選びます。

2. 解き方の手順

$\sum_{k=1}^{n} \frac{2}{13^k}$ は、初項 $\frac{2}{13}$、公比 $\frac{1}{13}$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和です。

等比数列の和の公式を使うと、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

ここで、$a = \frac{2}{13}$、$r = \frac{1}{13}$ なので、

$S_n = \frac{\frac{2}{13}(1-(\frac{1}{13})^n)}{1-\frac{1}{13}} = \frac{\frac{2}{13}(1-\frac{1}{13^n})}{\frac{12}{13}} = \frac{2}{13} \cdot \frac{13}{12} (1-\frac{1}{13^n}) = \frac{2}{12}(1-\frac{1}{13^n}) = \frac{1}{6}(1-\frac{1}{13^n})$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}(1-\frac{1}{13^n})$

したがって、選択肢②が正しいです。