$\alpha$ の範囲が $0^\circ \leq \alpha < 360^\circ$ であるとする。$t = \sin \alpha$ とおくとき、以下の問いに答える。 (1) $\sin 5\alpha$ を $t$ の5次式で表せ。 (2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ の範囲が $0^\circ \leq \alpha < 360^\circ$ であるとする。$t = \sin \alpha$ とおくとき、以下の問いに答える。

(1) $\sin 5\alpha$ を $t$ の5次式で表せ。

(2) (1)で求めた式を利用して、$\sin 36^\circ$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin 5\alpha$ を $t$ の5次式で表す。

$\sin 5\alpha = \Im( (\cos\alpha + i\sin\alpha)^5 )$

ド・モアブルの定理より、

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^5 = \cos 5\alpha + i\sin 5\alpha$

$(\cos\alpha + i\sin\alpha)^5 = \cos^5\alpha + 5i\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^3\alpha\sin^2\alpha - 10i\cos^2\alpha\sin^3\alpha + 5\cos\alpha\sin^4\alpha + i\sin^5\alpha$

$\sin 5\alpha = 5\cos^4\alpha\sin\alpha - 10\cos^2\alpha\sin^3\alpha + \sin^5\alpha$

ここで、$\sin\alpha = t$ より $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - t^2$。したがって、

$\sin 5\alpha = 5(1 - t^2)^2 t - 10(1 - t^2)t^3 + t^5$

$\sin 5\alpha = 5(1 - 2t^2 + t^4)t - 10(t^3 - t^5) + t^5$

$\sin 5\alpha = 5t - 10t^3 + 5t^5 - 10t^3 + 10t^5 + t^5$

$\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$

(2) $\sin 36^\circ$ の値を求める。

$\alpha = 36^\circ$ のとき、$5\alpha = 180^\circ$ なので、$\sin 5\alpha = \sin 180^\circ = 0$。

(1)の結果より、$\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t = t(16t^4 - 20t^2 + 5) = 0$。

$t = \sin 36^\circ \neq 0$ なので、$16t^4 - 20t^2 + 5 = 0$。

$u = t^2$ とおくと、$16u^2 - 20u + 5 = 0$。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 16 \cdot 5}}{2 \cdot 16} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 320}}{32} = \frac{20 \pm \sqrt{80}}{32} = \frac{20 \pm 4\sqrt{5}}{32} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$

$t^2 = \sin^2 36^\circ > 0$ より、$t^2 = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$。

$0 < \sin 36^\circ < 1$ より、$0 < \sin^2 36^\circ < 1$。

$\frac{5 + \sqrt{5}}{8} \approx \frac{5 + 2.236}{8} \approx 0.904 < 1$

$\frac{5 - \sqrt{5}}{8} \approx \frac{5 - 2.236}{8} \approx 0.345 < 1$

$\sin 36^\circ > 0$ なので、

$\sin 36^\circ = \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{8}} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 5\alpha = 16t^5 - 20t^3 + 5t$

(2) $\sin 36^\circ = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$