複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ の両辺に $z$ をかけます。

$z^2 + 1 = \sqrt{3}z$

$z^2 - \sqrt{3}z + 1 = 0$

この2次方程式を解の公式を使って解きます。

$z = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3-4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2}i$ となります。

これを極形式で表すと、

$z = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$ とすると、$|z|=1$です。

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin{\theta} = \pm \frac{1}{2}$ となるので、$\theta = \pm \frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、$z = \cos{\frac{\pi}{6}} \pm i \sin{\frac{\pi}{6}}$

$z^{10} = \cos{\frac{10\pi}{6}} \pm i \sin{\frac{10\pi}{6}} = \cos{\frac{5\pi}{3}} \pm i \sin{\frac{5\pi}{3}} = \cos{(2\pi - \frac{\pi}{3})} \pm i \sin{(2\pi - \frac{\pi}{3})} = \cos{\frac{\pi}{3}} \mp i \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \mp i \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{z^{10}} = \overline{z^{10}} = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = (\frac{1}{2} \mp i \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2}) = 1$

3. 最終的な答え

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