3つのタンクA, B, Cがあり、Aには100Lの水が入っている。BとCの水量の比は2:3である。30Lの水を3つのタンクに分け、追加したところ、3つのタンクの水量の比は追加する前と同じになった。Aに追加した水量はBに追加した水量よりも2L多かった。水を追加した後のCの水量を求める。

1. 問題の内容

3つのタンクA, B, Cがあり、Aには100Lの水が入っている。BとCの水量の比は2:3である。30Lの水を3つのタンクに分け、追加したところ、3つのタンクの水量の比は追加する前と同じになった。Aに追加した水量はBに追加した水量よりも2L多かった。水を追加した後のCの水量を求める。

2. 解き方の手順

まず、BとCの最初の水量を計算する。A, B, Cの最初の水量の比を $x:y:z$ とすると、水の追加後も比は変わらないので、追加量を $ax, ay, az$と表せる。

* BとCの最初の水量の比が2:3なので、Bの初期水量を$2k$、Cの初期水量を$3k$とおく。

* Aの初期水量は100L。

* 追加後の水量はそれぞれ、A: $100+a_A$, B: $2k+a_B$, C: $3k+a_C$

* $a_A + a_B + a_C = 30$

* $a_A = a_B + 2$

* 追加前後で比が変わらないので、A:B:C = $100:2k:3k$ = $100+a_A : 2k+a_B : 3k+a_C$

* $100:2k$ = $100+a_A : 2k+a_B$ より $\frac{100}{2k} = \frac{100+a_A}{2k+a_B}$

* $100(2k+a_B) = 2k(100+a_A)$

* $200k + 100a_B = 200k + 2ka_A$

* $100a_B = 2ka_A$

* $a_A = a_B + 2$を代入して、$100a_B = 2k(a_B + 2)$

* $100a_B = 2ka_B + 4k$

* $a_B(100-2k) = 4k$

* $a_B = \frac{4k}{100-2k} = \frac{2k}{50-k}$

* $100:3k$ = $100+a_A : 3k+a_C$より $\frac{100}{3k} = \frac{100+a_A}{3k+a_C}$

* $100(3k+a_C) = 3k(100+a_A)$

* $300k + 100a_C = 300k + 3ka_A$

* $100a_C = 3ka_A$

* $a_A = a_B + 2$より、$100a_C = 3k(a_B + 2)$

* $100a_C = 3ka_B + 6k$

* $a_C = \frac{3ka_B + 6k}{100}$

* $a_A + a_B + a_C = 30$に、$a_A = a_B + 2$と$a_C = \frac{3ka_B + 6k}{100}$を代入。

* $(a_B + 2) + a_B + \frac{3ka_B + 6k}{100} = 30$

* $2a_B + 2 + \frac{3ka_B + 6k}{100} = 30$

* $200a_B + 200 + 3ka_B + 6k = 3000$

* $a_B(200 + 3k) = 2800 - 6k$

* $a_B = \frac{2800 - 6k}{200 + 3k}$

$a_B = \frac{2k}{50-k}$と$a_B = \frac{2800 - 6k}{200 + 3k}$は等しいので、

$\frac{2k}{50-k} = \frac{2800 - 6k}{200 + 3k}$

$2k(200+3k) = (2800-6k)(50-k)$

$400k + 6k^2 = 140000 - 2800k - 300k + 6k^2$

$400k = 140000 - 3100k$

$3500k = 140000$

$k = 40$

したがって、Bの初期水量は$2k = 2(40) = 80$L、Cの初期水量は$3k = 3(40) = 120$L。

$a_B = \frac{2(40)}{50-40} = \frac{80}{10} = 8$

$a_A = a_B + 2 = 8 + 2 = 10$

$a_C = \frac{3(40)(8) + 6(40)}{100} = \frac{960+240}{100} = \frac{1200}{100} = 12$

水を追加した後のCの水量は $3k+a_C = 120 + 12 = 132$L。

3. 最終的な答え

132 L