与えられた式 $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を、複数の方法で展開しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+2)(x+3)(x-2)(x-3)$ を、複数の方法で展開しなさい。

2. 解き方の手順

方法1：

まず、与えられた式を $(x+2)(x-2)$ と $(x+3)(x-3)$ の積として考えます。

$(x+2)(x-2)$ は和と差の積の公式 $A^2-B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して $x^2-4$ となります。

同様に、$(x+3)(x-3)$ は $x^2-9$ となります。

したがって、

$(x+2)(x+3)(x-2)(x-3) = (x^2-4)(x^2-9)$

ここで、$X = x^2$ とおくと、 $(X-4)(X-9)$ となり、これを展開すると $X^2-13X+36$ です。

$X$ を $x^2$ に戻すと、$x^4 -13x^2+36$ が得られます。

方法2：

与えられた式を $(x+2)(x+3)$ と $(x-2)(x-3)$ の積として考えます。

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

したがって、

$(x+2)(x+3)(x-2)(x-3) = (x^2+5x+6)(x^2-5x+6)$

ここで、$Y = x^2+6$ とおくと、 $(Y+5x)(Y-5x)$ となり、これは $Y^2 - (5x)^2 = Y^2 - 25x^2$ です。

$Y$ を $x^2+6$ に戻すと、 $(x^2+6)^2 - 25x^2$ となります。

$(x^2+6)^2 = x^4 + 12x^2 + 36$ なので、

$(x^2+6)^2 - 25x^2 = x^4 + 12x^2 + 36 - 25x^2 = x^4 - 13x^2 + 36$ が得られます。

方法3：

単純に前から順番に展開します。

$(x+2)(x+3)(x-2)(x-3) = (x^2+5x+6)(x-2)(x-3) = (x^3+5x^2+6x-2x^2-10x-12)(x-3) = (x^3+3x^2-4x-12)(x-3) = x^4+3x^3-4x^2-12x-3x^3-9x^2+12x+36 = x^4-13x^2+36$

3. 最終的な答え

$x^4 - 13x^2 + 36$