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与えられた数式 $(\sqrt{5} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1)$ を計算し、その結果を求める問題です。

代数学式の計算平方根展開
2025/4/17

1. 問題の内容

与えられた数式 (5−2+1)(5−2−1)(\sqrt{5} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1) を計算し、その結果を求める問題です。

2. 解き方の手順

この式は (A+B)(A−B)(A + B)(A - B) の形と見なすことができます。ここで、 A=5−2A = \sqrt{5} - \sqrt{2} 、 B=1B = 1 です。
(A+B)(A−B)=A2−B2(A + B)(A - B) = A^2 - B^2 という公式を利用します。
まず、A2A^2 を計算します。
A2=(5−2)2=(5)2−252+(2)2=5−210+2=7−210A^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}
次に、B2B^2 を計算します。
B2=12=1B^2 = 1^2 = 1
したがって、与えられた式は次のようになります。
(5−2+1)(5−2−1)=A2−B2=(7−210)−1=6−210(\sqrt{5} - \sqrt{2} + 1)(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1) = A^2 - B^2 = (7 - 2\sqrt{10}) - 1 = 6 - 2\sqrt{10}

3. 最終的な答え

6−2106 - 2\sqrt{10}

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