$\frac{77}{111}$ を小数で表したときに、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。

1. 問題の内容

$\frac{77}{111}$ を小数で表したときに、小数第 $n$ 位にあらわれる数字を $a_n$ とします。$a_n$ を $n$ を用いた1つの式で表してください。

2. 解き方の手順

$\frac{77}{111}$ を実際に計算して、小数の規則性を見つけます。

$\frac{77}{111} = \frac{7 \times 11}{3 \times 37} = \frac{7}{3} \times \frac{11}{37}$

$\frac{77}{111} = 0.693693693...$

この小数を見ると、 $693$ が繰り返されていることがわかります。

つまり、循環小数 $0.\overline{693}$ です。

$a_n$ は小数第 $n$ 位の数字を表すので、 $n$ を $3$ で割った余りによって $a_n$ の値が決まります。

- $n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 6$

- $n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 9$

- $n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき、$a_n = 3$

これを式で表すと、以下のようになります。

$a_n = \begin{cases}

6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\

9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\

3 & (n \equiv 0 \pmod{3})

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$a_n = \begin{cases}

6 & (n \equiv 1 \pmod{3}) \\

9 & (n \equiv 2 \pmod{3}) \\

3 & (n \equiv 0 \pmod{3})

\end{cases}$