ある仕事をAさんは12日間、Bさんは18日間、Cさんは24日間で仕上げます。1日目はAさんとBさん、2日目はBさんとCさん、3日目はCさんとAさんが仕事をします。4日目以降はこのローテーションを繰り返すとき、初めて仕事を終えるのは何日目か求めます。

1. 問題の内容

ある仕事をAさんは12日間、Bさんは18日間、Cさんは24日間で仕上げます。1日目はAさんとBさん、2日目はBさんとCさん、3日目はCさんとAさんが仕事をします。4日目以降はこのローテーションを繰り返すとき、初めて仕事を終えるのは何日目か求めます。

2. 解き方の手順

まず、A, B, C それぞれが1日にできる仕事量を求めます。

全体の仕事量を1とすると、

Aは1日に $1/12$ の仕事ができます。

Bは1日に $1/18$ の仕事ができます。

Cは1日に $1/24$ の仕事ができます。

次に、1日目、2日目、3日目にそれぞれどれだけの仕事が進むかを計算します。

1日目 (AとB): $1/12 + 1/18 = 3/36 + 2/36 = 5/36$

2日目 (BとC): $1/18 + 1/24 = 4/72 + 3/72 = 7/72$

3日目 (CとA): $1/24 + 1/12 = 1/24 + 2/24 = 3/24 = 9/72 = 1/8$

3日間で進む仕事量は、

$5/36 + 7/72 + 1/8 = 10/72 + 7/72 + 9/72 = 26/72 = 13/36$

$n$ 回この3日間のローテーションを繰り返したとき、残りの仕事量は $1 - n \times 13/36$ となります。

$1 - n \times 13/36 \le 0$ となる最小の整数 $n$ を求めます。

$n \times 13/36 \ge 1$

$n \ge 36/13 = 2.769...$

したがって、$n = 3$ となります。

2回のローテーション後、残りの仕事量は $1 - 2 \times 13/36 = 1 - 26/36 = 10/36 = 5/18$ です。

3回目のローテーションに入ります。

1日目(7日目)にAとBが $5/36$ の仕事をするので、残りの仕事量は $5/18 - 5/36 = 10/36 - 5/36 = 5/36$ です。

2日目(8日目)にBとCが $7/72$ の仕事をするので、$5/36 = 10/72$ と比較すると、 $7/72 > 5/36$ なので、8日目に仕事が終わります。

$\frac{5/36}{7/72} = \frac{5}{36} \times \frac{72}{7} = \frac{10}{7}$ となり、8日目には$\frac{10}{7}$ 単位の時間だけ働きます。

よって、$6 + 1 + \frac{5/36}{7/72} = 6 + 1 + \frac{10}{72}/\frac{7}{72} = 6 + 1 + \frac{10}{7} = 7 + 1\frac{3}{7} = 8\frac{3}{7}$

2回ローテーションを終えた時点で6日間が経過しています。

7日目には、AとBが$5/36$の仕事をするので、残りは $5/18 - 5/36 = 5/36$

8日目には、BとCが$7/72$の仕事をするので、$5/36 = 10/72 > 7/72$, $5/36$の仕事は8日目に終わる

$5/36 \div 7/72 = 10/7 < 1$, $\frac{10}{7}$ 日だけ8日目に作業します。

6日 + 1日 + $\frac{10}{72} \times \frac{72}{7}$ = $6+10/7$日

$10/7 =1.428$, $6+1+1.43 = 8.428$

3. 最終的な答え

8日目