A-B間の合成抵抗が $5 \Omega$ となるように、抵抗 $r$ の値を求めます。回路図には、抵抗 $20 \Omega$, $7 \Omega$, $r$, $13 \Omega$, $4 \Omega$ が並列に接続されており、その並列回路に $5 \Omega$ の抵抗が直列に接続されています。

1. 問題の内容

A-B間の合成抵抗が $5 \Omega$ となるように、抵抗 $r$ の値を求めます。回路図には、抵抗 $20 \Omega$, $7 \Omega$, $r$, $13 \Omega$, $4 \Omega$ が並列に接続されており、その並列回路に $5 \Omega$ の抵抗が直列に接続されています。

2. 解き方の手順

まず、並列回路の合成抵抗を $R_p$ とします。並列回路の合成抵抗の逆数は、各抵抗の逆数の和に等しいので、

$$$$

\frac{1}{R_p} = \frac{1}{20} + \frac{1}{7} + \frac{1}{r} + \frac{1}{13} + \frac{1}{4}

$$$$

A-B間の合成抵抗は、この並列回路の合成抵抗 $R_p$ と直列に接続された $5 \Omega$ の抵抗の和なので、

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5 = R_p + 5

$$$$

これにより $R_p=0$が得られます。

$R_p=0$となるためには、並列回路のいずれかの抵抗値が $0$ である必要がありますが、与えられた抵抗値はすべて正であるため、合成抵抗が $5\Omega$ になる $r$ は存在しません。

問題文に「図に示すA-B間の合成抵抗が5Ωの場合」とあり、また、図の左上に回路図らしきものが手書きで描かれていることから、回路図が間違っている可能性があります。

手書きの回路図に基づき計算してみます。

手書きの回路図の場合、抵抗 $r$、$4\Omega$、$13\Omega$が直列に接続されており、その直列回路と$20\Omega$が並列に接続されています。さらにその並列回路と$5\Omega$が直列に接続されています。

よって、A-B間の合成抵抗は

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5 = 5 + \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{r+4+13}}

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5 = 5 + \frac{20(r+17)}{20+r+17}

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0 = \frac{20(r+17)}{r+37}

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となるため、$r+17=0$から、$r=-17$。

これも、ありえない値になります。

再度回路図を確認すると、$7\Omega$が$r$と直列につながっているように見えますので、この場合の計算を行います。

抵抗 $7\Omega$、$r$、$4\Omega$、$13\Omega$が直列に接続されており、その直列回路と$20\Omega$が並列に接続されています。さらにその並列回路と$5\Omega$が直列に接続されています。

よって、A-B間の合成抵抗は

$$$$

5 = 5 + \frac{1}{\frac{1}{20} + \frac{1}{7+r+4+13}}

$$$$

$$$$

5 = 5 + \frac{20(r+24)}{20+r+24}

$$$$

$$$$

0 = \frac{20(r+24)}{r+44}

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となるため、$r+24=0$から、$r=-24$。

これも、ありえない値になります。

以上のことから、提示された情報だけでは、問題の解を求めることは出来ません。

回路図が正しく読み取れていない可能性が高いです。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるか、回路図が不明瞭なため、rの値を特定できません。