$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}}$ の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}$

分母は $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して計算します。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

分子は $\sqrt{2}$ を分配法則で展開します。

$\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{10} - 2$

したがって、

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{10} - 2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} - 2}{3}$