39番と40番の問題にある各式を因数分解します。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

39番と40番の問題にある各式を因数分解します。

2. 解き方の手順

39 (1) $xy + x + y + 1$

手順:

* $x$ を最初の2つの項からくくり出す： $x(y+1) + y + 1$

* 共通因数 $(y+1)$ でくくり出す: $(x+1)(y+1)$

39 (2) $ab - a - b + 1$

手順:

* $a$ を最初の2つの項からくくり出す： $a(b-1) - b + 1$

* $-1$ を最後の2つの項からくくり出す： $a(b-1) - (b - 1)$

* 共通因数 $(b-1)$ でくくり出す： $(a-1)(b-1)$

39 (3) $xy + 2x + 3y + 6$

手順:

* $x$ を最初の2つの項からくくり出す: $x(y+2) + 3y + 6$

* $3$ を最後の2つの項からくくり出す: $x(y+2) + 3(y + 2)$

* 共通因数 $(y+2)$ でくくり出す: $(x+3)(y+2)$

40 (1) $a^2b + a - b - 1$

手順:

* 項の順序を入れ替えて、$a^2b - b + a - 1$ とする。

* 最初の2つの項から $b$ をくくり出す: $b(a^2 - 1) + a - 1$

* $a^2 - 1$ を因数分解する: $b(a-1)(a+1) + a - 1$

* 共通因数 $(a-1)$ でくくり出す: $(a-1)[b(a+1) + 1]$

* 整理する: $(a-1)(ab + b + 1)$

40 (2) $x^2 - 8y + 2xy - 16$

手順:

* 項の順序を入れ替えて、$x^2 + 2xy - 8y - 16$ とする。

* 最初の2つの項から $x$ をくくり出す： $x(x+2y) - 8y - 16$

ここから因数分解が難しいので、別の方法を試します。

項の順序を入れ替えて、$x^2 + 2xy - 16 - 8y$ とする。

$x^2 + 2xy - 16 - 8y = x^2 + 2xy + y^2 -y^2 - 16 - 8y = (x+y)^2 - (y^2 + 8y + 16) = (x+y)^2 - (y+4)^2 = (x+y+y+4)(x+y-y-4) = (x+2y+4)(x-4)$

40 (3) $4 - 4y + 2xy - x^2$

手順:

* 項の順序を入れ替えて、$-x^2 + 2xy - 4y + 4$ とする。

* $-1$ でくくり出す: $-(x^2 - 2xy + 4y - 4)$

ここから因数分解が難しいので、別の方法を試します。

$4 - 4y + 2xy - x^2 = 4 - x^2 - 4y + 2xy = (2-x)(2+x) + 2y(x-2) = (2-x)(2+x) - 2y(2-x) = (2-x)(2+x-2y)$

40 (4) $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$

手順:

$x$について整理する。

$x^2 + (y-2)x - (3y + 3) = x^2 + (y-2)x - 3(y+1)$

因数分解できると仮定して、$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$

$a+b = y-2, ab = -3(y+1)$

$a = 3, b = y-5$とすると、$a+b = y-2$ になり、$ab = 3(y-5) \neq -3(y+1)$

$a = -3, b = y+1$とすると、$a+b = y-2$ になり、$ab = -3(y+1)$

従って、$(x-3)(x+y+1)$

40 (5) $a^2 + b^2 + bc - ca - 2ab$

手順:

$a$ について整理する。

$a^2 - (2b+c)a + (b^2 + bc) = a^2 - (2b+c)a + b(b+c)$

$(a-b)(a-(b+c)) = a^2 - (b+b+c)a + b(b+c) = a^2 - (2b+c)a + b(b+c)$

$(a-b)(a-b-c)$

40 (6) $4x^2y - 4x^2z + y^2z - y^3$

手順:

$4x^2(y-z) - y^2(y-z) = (4x^2 - y^2)(y-z) = (2x+y)(2x-y)(y-z)$

3. 最終的な答え

39 (1) $(x+1)(y+1)$

39 (2) $(a-1)(b-1)$

39 (3) $(x+3)(y+2)$

40 (1) $(a-1)(ab + b + 1)$

40 (2) $(x+2y+4)(x-4)$

40 (3) $(2-x)(2+x-2y)$

40 (4) $(x-3)(x+y+1)$

40 (5) $(a-b)(a-b-c)$

40 (6) $(2x+y)(2x-y)(y-z)$