与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、 (7) $(7+i)(7-i)$ (8) $i^5$ (9) $\frac{1}{3+i}$ (10) $\frac{2+i}{3+i}$ の4つの問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた複素数の計算問題を解きます。具体的には、

(7) $(7+i)(7-i)$

(8) $i^5$

(9) $\frac{1}{3+i}$

(10) $\frac{2+i}{3+i}$

の4つの問題を解きます。

2. 解き方の手順

(7) $(7+i)(7-i)$ は、複素数の共役な積の形をしています。これを利用して計算します。

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式より、

$(7+i)(7-i) = 7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 49 + 1 = 50$

(8) $i^5$ の計算。$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ です。これを利用して計算します。

$i^5 = i^4 \cdot i = (i^2)^2 \cdot i = (-1)^2 \cdot i = 1 \cdot i = i$

(9) $\frac{1}{3+i}$ の計算。分母に複素数があるため、分母の共役複素数を分母分子に掛けて分母を実数化します。

$\frac{1}{3+i} = \frac{1}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{3-i}{(3+i)(3-i)} = \frac{3-i}{3^2 - i^2} = \frac{3-i}{9 - (-1)} = \frac{3-i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$

(10) $\frac{2+i}{3+i}$ の計算。分母に複素数があるため、分母の共役複素数を分母分子に掛けて分母を実数化します。

$\frac{2+i}{3+i} = \frac{2+i}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i} = \frac{(2+i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{6 - 2i + 3i - i^2}{9 - i^2} = \frac{6 + i - (-1)}{9 - (-1)} = \frac{7 + i}{10} = \frac{7}{10} + \frac{1}{10}i$

3. 最終的な答え

(7) 50

(8) $i$

(9) $\frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$

(10) $\frac{7}{10} + \frac{1}{10}i$