以下の連立方程式を解け。ただし、$a$ は定数とする。 $ \begin{cases} (a-1)x + y = 1 & \cdots ① \\ (a+3)x + ay = -1 & \cdots ② \end{cases} $

代数学連立方程式文字定数場合分け代入法
2025/7/29

1. 問題の内容

以下の連立方程式を解け。ただし、aa は定数とする。
{(a1)x+y=1(a+3)x+ay=1 \begin{cases} (a-1)x + y = 1 & \cdots ① \\ (a+3)x + ay = -1 & \cdots ② \end{cases}

2. 解き方の手順

まず、yy を消去することを考える。
①より、y=1(a1)xy = 1 - (a-1)x。これを②に代入する。
(a+3)x+a(1(a1)x)=1(a+3)x + a(1-(a-1)x) = -1
(a+3)x+aa(a1)x=1(a+3)x + a - a(a-1)x = -1
(a+3)x+a(a2a)x=1(a+3)x + a - (a^2 - a)x = -1
(a+3a2+a)x=1a(a+3 - a^2 + a)x = -1-a
(a2+2a+3)x=(a+1)(-a^2 + 2a + 3)x = -(a+1)
(a22a3)x=(a+1)-(a^2 - 2a - 3)x = -(a+1)
(a22a3)x=a+1(a^2 - 2a - 3)x = a+1
(a3)(a+1)x=a+1(a-3)(a+1)x = a+1
次に、場合分けを行う。
(i) a3a \neq 3 かつ a1a \neq -1 のとき
x=a+1(a3)(a+1)=1a3x = \frac{a+1}{(a-3)(a+1)} = \frac{1}{a-3}
y=1(a1)x=1(a1)1a3=1a1a3=a3(a1)a3=2a3=23ay = 1 - (a-1)x = 1 - (a-1)\frac{1}{a-3} = 1 - \frac{a-1}{a-3} = \frac{a-3-(a-1)}{a-3} = \frac{-2}{a-3} = \frac{2}{3-a}
(ii) a=1a = -1 のとき
(a3)(a+1)x=a+1(a-3)(a+1)x = a+1(4)(0)x=0(-4)(0)x = 0 となり、0x=00x = 0 となる。よって、xx は任意の値を取る。
①より、(a1)x+y=1(a-1)x + y = 1a=1a = -1 を代入すると、
(11)x+y=1(-1-1)x + y = 1
2x+y=1-2x + y = 1
y=1+2xy = 1 + 2x
よって、解は x=tx = t (任意), y=1+2ty = 1 + 2t となる。
(iii) a=3a = 3 のとき
(a3)(a+1)x=a+1(a-3)(a+1)x = a+1(0)(4)x=4(0)(4)x = 4 となり、0x=40x = 4 となる。これを満たす xx は存在しないため、解なし。

3. 最終的な答え

a3a \neq 3 かつ a1a \neq -1 のとき:
x=1a3x = \frac{1}{a-3}, y=23ay = \frac{2}{3-a}
a=1a = -1 のとき:
x=tx = t (任意), y=1+2ty = 1 + 2t
a=3a = 3 のとき:
解なし

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