高さ200mのビルの上に立つ人が、高さ50mの鉄塔を見る。鉄塔の上端をA, 人をB, 鉄塔の下端をCとする。角ABCが最大となるのは、人がビルから何m離れたときか。ただし、人の身長やビル、鉄塔の水平方向の大きさは無視する。

1. 問題の内容

高さ200mのビルの上に立つ人が、高さ50mの鉄塔を見る。鉄塔の上端をA, 人をB, 鉄塔の下端をCとする。角ABCが最大となるのは、人がビルから何m離れたときか。ただし、人の身長やビル、鉄塔の水平方向の大きさは無視する。

2. 解き方の手順

ビルから人が $x$ m離れているとする。

$\angle ABC = \theta$ とおき、これが最大になる $x$ を求める。

$\angle CBA = \theta$, $\angle BCA = \alpha$, $\angle B A = \beta$ とする。

$\tan \alpha = \frac{200}{x}$

$\tan (\alpha + \theta) = \frac{250}{x}$

$\tan \theta = \tan ((\alpha + \theta) - \alpha) = \frac{\tan (\alpha + \theta) - \tan \alpha}{1 + \tan (\alpha + \theta) \tan \alpha}$

$\tan \theta = \frac{\frac{250}{x} - \frac{200}{x}}{1 + \frac{250}{x} \cdot \frac{200}{x}} = \frac{\frac{50}{x}}{1 + \frac{50000}{x^2}} = \frac{50x}{x^2 + 50000}$

$\tan \theta$ が最大になる時、$\theta$ も最大になる。（$\theta$ は鋭角なので）

$\frac{d}{dx} (\frac{50x}{x^2 + 50000}) = \frac{50(x^2 + 50000) - 50x(2x)}{(x^2 + 50000)^2} = \frac{50(50000 - x^2)}{(x^2 + 50000)^2}$

これが0となる時、$\tan \theta$ は最大になる。

$50000 - x^2 = 0$

$x^2 = 50000$

$x = \sqrt{50000} = \sqrt{5 \cdot 10000} = 100 \sqrt{5}$

$x > 0$ より $x = 100 \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$100\sqrt{5}$ m