問題は、2次元ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 7 \\ -7 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix}$ が与えられたときに、以下の3つの問いに答えるものです。 (a) ベクトル $-2\vec{a} + 4\vec{b}$ の成分表示を求める。 (b) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ と、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を求める。 (c) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を $\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を満たすように求める。余弦関数の数値表を見て$\theta$の近似値を求める。

1. 問題の内容

問題は、2次元ベクトル $\vec{a} = \begin{bmatrix} 7 \\ -7 \end{bmatrix}$ と $\vec{b} = \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix}$ が与えられたときに、以下の3つの問いに答えるものです。

(a) ベクトル $-2\vec{a} + 4\vec{b}$ の成分表示を求める。

(b) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$ と、それぞれのベクトルの大きさ $|\vec{a}|$ と $|\vec{b}|$ を求める。

(c) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を $\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ を満たすように求める。余弦関数の数値表を見て$\theta$の近似値を求める。

2. 解き方の手順

(a) ベクトル $-2\vec{a} + 4\vec{b}$ を計算する。

$-2\vec{a} = -2 \begin{bmatrix} 7 \\ -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -14 \\ 14 \end{bmatrix}$

$4\vec{b} = 4 \begin{bmatrix} -6 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -24 \\ 16 \end{bmatrix}$

したがって、

$-2\vec{a} + 4\vec{b} = \begin{bmatrix} -14 \\ 14 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -24 \\ 16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -38 \\ 30 \end{bmatrix}$

(b) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積と大きさを計算する。

$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = (7)(-6) + (-7)(4) = -42 - 28 = -70$

$|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

(c) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を計算する。

$\cos \theta = \frac{\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-70}{\sqrt{98}\sqrt{52}} = \frac{-70}{\sqrt{2 \cdot 49}\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{-70}{7\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{-70}{14\sqrt{26}} = \frac{-5}{\sqrt{26}}$

$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{26}} = \frac{-5\sqrt{26}}{26} \approx \frac{-5(5.099)}{26} \approx -0.9805$

$\cos \theta \approx -0.9805$

$\theta \approx \arccos(-0.9805) \approx 168.7^{\circ}$

3. 最終的な答え

(a) $-2\vec{a} + 4\vec{b} = \begin{bmatrix} -38 \\ 30 \end{bmatrix}$

(b) $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = -70$, $|\vec{a}| = 7\sqrt{2}$, $|\vec{b}| = 2\sqrt{13}$

(c) $\theta \approx 168.7^{\circ}$