問1と同じ内積に関して、次のベクトルのノルムを求めます。 (1) $u = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{bmatrix}$ (2) $u = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ (3) $f = 2 + x - x^2$

1. 問題の内容

問1と同じ内積に関して、次のベクトルのノルムを求めます。

(1) $u = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -1 \end{bmatrix}$

(2) $u = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(3) $f = 2 + x - x^2$

2. 解き方の手順

問題文に「問1と同じ内積に関して」とありますが、問1の内容が記載されていません。ここでは、標準的な内積（ユークリッド内積）を用いると仮定して問題を解きます。すなわち、ベクトルのノルムは、各成分の二乗和の平方根で計算します。

(1) ベクトルのノルムは、各成分の二乗和の平方根で計算します。

$\|u\| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-1)^2}$

(2) ベクトルのノルムは、各成分の二乗和の平方根で計算します。

$\|u\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}$

(3) 関数 $f$ のノルムを求めるには、積分範囲を指定する必要があります。積分範囲が指定されていないため、ここでは、標準的な区間 $[-1, 1]$ で積分すると仮定して問題を解きます。多項式のノルムは、以下の式で計算します。

$\|f\| = \sqrt{\int_{-1}^{1} f(x)^2 dx}$

この式に $f(x) = 2 + x - x^2$ を代入して計算します。

$\|f\| = \sqrt{\int_{-1}^{1} (2 + x - x^2)^2 dx}$

まず、$f(x)^2$ を計算します。

$f(x)^2 = (2 + x - x^2)^2 = 4 + x^2 + x^4 + 4x - 4x^2 - 2x^3 = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$

次に、積分を行います。

$\int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4) dx = [\frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x]_{-1}^{1} = [\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} - x^3 + 2x^2 + 4x]_{-1}^{1}$

$= (\frac{1}{5} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 4) - (-\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + 1 + 2 - 4) = \frac{1}{5} - \frac{1}{2} - 1 + 2 + 4 + \frac{1}{5} + \frac{1}{2} - 1 - 2 + 4 = \frac{2}{5} + 6 = \frac{32}{5}$

したがって、

$\|f\| = \sqrt{\frac{32}{5}} = \sqrt{\frac{32}{5}} = \frac{4\sqrt{10}}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\|u\| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2) $\|u\| = \sqrt{14}$

(3) $\|f\| = \frac{4\sqrt{10}}{5}$