問題233の(1)、問題234の(2)、問題234の(3)を計算する問題です。 (1) $\cos 75^\circ \sin 15^\circ$ (2) $\sin 15^\circ \sin 105^\circ$ (3) $\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ$

1. 問題の内容

問題233の(1)、問題234の(2)、問題234の(3)を計算する問題です。

(1) $\cos 75^\circ \sin 15^\circ$

(2) $\sin 15^\circ \sin 105^\circ$

(3) $\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 75^\circ \sin 15^\circ$ は、積和の公式 $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ を利用します。

$\cos 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(2 \cos 75^\circ \sin 15^\circ) = \frac{1}{2}(\sin(75^\circ+15^\circ) - \sin(75^\circ-15^\circ)) = \frac{1}{2}(\sin 90^\circ - \sin 60^\circ)$

(2) $\sin 15^\circ \sin 105^\circ$ は、積和の公式 $2\sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ を利用します。

$\sin 15^\circ \sin 105^\circ = \frac{1}{2}(2\sin 15^\circ \sin 105^\circ) = \frac{1}{2}(\cos(15^\circ-105^\circ) - \cos(15^\circ+105^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos(-90^\circ) - \cos 120^\circ)$

(3) $\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ$ は、積和の公式 $2\cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ を利用します。

$\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ = \frac{1}{2}(2\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ) = \frac{1}{2}(\cos(37.5^\circ+7.5^\circ) + \cos(37.5^\circ-7.5^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ)$

それぞれの値を代入して計算します。

$\sin 90^\circ = 1$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-90^\circ) = 0$

$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)

$\cos 75^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\sin 90^\circ - \sin 60^\circ) = \frac{1}{2}(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$

(2)

$\sin 15^\circ \sin 105^\circ = \frac{1}{2}(\cos(-90^\circ) - \cos 120^\circ) = \frac{1}{2}(0 - (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4}$

(3)

$\cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ = \frac{1}{2}(\cos 45^\circ + \cos 30^\circ) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$

(2) $\frac{1}{4}$

(3) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}$