問題は、ある商品の費用関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 2x + c$ が与えられており、商品の売り上げと利益に関する条件から、$f(x)$ の式を決定し、さらに関数の最大値を求める問題です。特に、固定費用が3であるという条件と、利益が2万円であるという条件から、$c$ の値を求め、その結果を利用して、関数の最大値を求めることが要求されます。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は、ある商品の費用関数 $f(x) = x^3 - x^2 + 2x + c$ が与えられており、商品の売り上げと利益に関する条件から、$f(x)$ の式を決定し、さらに関数の最大値を求める問題です。特に、固定費用が3であるという条件と、利益が2万円であるという条件から、$c$ の値を求め、その結果を利用して、関数の最大値を求めることが要求されます。

2. 解き方の手順

(1) $x - 10\% f(x)$ に関する式の導出：

まず、商品の1kgあたりの価格が10万円で、$x$ kg生産したときの売り上げ金額は $10x$ 万円です。利益は売り上げ金額から費用を引いたものなので、利益を2万円とすると、

$10x - f(x) = 2$

よって

$f(x) = 10x-2$

(2) $f(x) = 10x-2$　と、$f(x) = x^3 - x^2 + 2x + c$　を比較すると、

$x^3 - x^2 + 2x + c = 10x - 2$

$x^3 - x^2 -8x + c + 2 = 0$

この式からcを決定する。

固定費用が3であることから、$x=0$の時、$f(x)=3$となるので

$f(0) = 0^3 - 0^2 + 2 \times 0 + c = 3$

したがって、$c=3$

これを代入して

$f(x) = x^3 - x^2 + 2x + 3$

(3) $g(x) = -x^3 + x^2 + 4x - 3$ とすると、$g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = -3x^2 + 2x + 4$

(4) $0 \le x \le 2$ の範囲における $x$ の最大値を求めるために、$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 2x + 4 = 0$

$3x^2 - 2x - 4 = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \times 3 \times (-4)}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{3}$

$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \approx 1.535$

$x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3} \approx -0.868$

よって、$x = \frac{1 + \sqrt{13}}{3}$ が、$0 \le x \le 2$ の範囲内にある。

$g(0) = -3$

$g(2) = -8 + 4 + 8 - 3 = 1$

$g(1.535) = - (1.535)^3 + (1.535)^2 + 4(1.535) - 3 = 1.222$

$g(2)=1$

最大値は$x=1.535$の時

$x = \frac{1+\sqrt{13}}{3}$

3. 最終的な答え

c = 3

$g'(x) = -3x^2 + 2x + 4$

$x$ の最大値は $\frac{1+\sqrt{13}}{3}$です

その時の $g(x)$ の値は $g(\frac{1+\sqrt{13}}{3}) = \frac{29 + 13\sqrt{13}}{27}$

注：途中計算は近似値を使用しています。