(1) $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ をともに満たす領域を図示し、その面積を求める。 (2) $x, y$ が不等式 $-x + 2y \le 8$, $3x + 2y \le 24$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たすとき、$-\frac{1}{4}x + y$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x^2 + y^2 \le 4$ と $y - \sqrt{3}x \le -2$ をともに満たす領域を図示し、その面積を求める。

(2) $x, y$ が不等式 $-x + 2y \le 8$, $3x + 2y \le 24$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たすとき、$-\frac{1}{4}x + y$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 + y^2 \le 4$ は、中心が原点で半径が 2 の円の内部（円周を含む）を表す。

次に、$y - \sqrt{3}x \le -2$ は、$y \le \sqrt{3}x - 2$ と変形できる。これは直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ の下側（直線を含む）を表す。

これらの不等式を同時に満たす領域を図示する。

$y = \sqrt{3}x - 2$ と円 $x^2 + y^2 = 4$ の交点を求める。

$x^2 + (\sqrt{3}x - 2)^2 = 4$

$x^2 + 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 4$

$4x^2 - 4\sqrt{3}x = 0$

$4x(x - \sqrt{3}) = 0$

$x = 0, \sqrt{3}$

$x = 0$ のとき $y = -2$

$x = \sqrt{3}$ のとき $y = \sqrt{3}(\sqrt{3}) - 2 = 3 - 2 = 1$

交点は $(0, -2)$ と $(\sqrt{3}, 1)$ である。

求める領域は、円の下半分から、$x$軸から直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ までの扇形を引いたもの。

原点から直線 $y = \sqrt{3}x - 2$ までの角度を$\theta$とする。

$\tan \theta = \sqrt{3}$. $x = 0$の時、$y=-2$だから、中心角は、$2 \pi/3$の扇形。

面積は、$\frac{1}{2} r^2 \theta$により、$\frac{1}{2} 2^2 (2\pi/3) = \frac{4\pi}{3}$

下側の弓形なので, 円の下半分$\pi r^2/2 = 2\pi$から扇形を引いて、三角形を加える．

$2\pi - \frac{4}{3}\pi + \sqrt{3} = \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$

面積は、$2\pi - (\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3})= \frac{1}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}$

円の下半分 $2\pi$. 直線と円の交点は $(0,-2)$ と $(\sqrt{3}, 1)$。

中心角は $\pi/6 + \pi/2 = 2/3 \pi$. 扇形は $4/3 \pi$。三角形は $\sqrt{3}/2$。弓形は $4/3 \pi - \sqrt{3}/2$

求める面積は $2 \pi - (4/3 \pi - \sqrt{3}/2) = 2/3 \pi + \sqrt{3}/2$

(2)

$-x + 2y \le 8$, $3x + 2y \le 24$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ を満たす領域を図示する。

それぞれの直線の交点を求める。

$-x + 2y = 8$ と $3x + 2y = 24$ の交点:

$4x = 16$ より $x = 4$, $y = 6$。交点は $(4, 6)$。

$-x + 2y = 8$ と $x = 0$ の交点: $(0, 4)$

$3x + 2y = 24$ と $x = 0$ の交点: $(0, 12)$

$3x + 2y = 24$ と $y = 0$ の交点: $(8, 0)$

$-x + 2y = 8$ と $y = 0$ の交点: $(-8, 0)$

$x = 0$ と $y = 0$ の交点: $(0, 0)$

頂点は $(0, 0), (8, 0), (4, 6), (0, 4)$ となる。

$k = -\frac{1}{4}x + y$ とおく。

各頂点での $k$ の値を計算する。

$(0, 0)$ で $k = 0$

$(8, 0)$ で $k = -\frac{1}{4}(8) + 0 = -2$

$(4, 6)$ で $k = -\frac{1}{4}(4) + 6 = -1 + 6 = 5$

$(0, 4)$ で $k = -\frac{1}{4}(0) + 4 = 4$

最大値は 5, 最小値は -2。

3. 最終的な答え

(1) 面積: $\frac{2}{3}\pi + \frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) 最大値: 5, 最小値: -2