A, B, Cの3人が湖の周りの道路を周回する。Aは毎分200m、Bは毎分80mで時計回りに進み、Cは反時計回りに進む。3人が同じ地点から同時に出発し、出発してから20分後にAとCが初めてすれ違い、その10分後にBとCが初めてすれ違った。AがBを初めて追い越すまでにかかる時間を求める。

1. 問題の内容

A, B, Cの3人が湖の周りの道路を周回する。Aは毎分200m、Bは毎分80mで時計回りに進み、Cは反時計回りに進む。3人が同じ地点から同時に出発し、出発してから20分後にAとCが初めてすれ違い、その10分後にBとCが初めてすれ違った。AがBを初めて追い越すまでにかかる時間を求める。

2. 解き方の手順

まず、湖の周りの長さを $L$ (m) とする。

AとCが20分後に初めてすれ違ったので、

$20 \times 200 + 20 \times v_C = L$

$4000 + 20v_C = L$ (1)

次に、BとCがAとCがすれ違ってから10分後にすれ違ったので、出発してから30分後にすれ違ったことになる。

$30 \times 80 + 30 \times v_C = L$

$2400 + 30v_C = L$ (2)

(1)式と(2)式から $L$ を消去する。

$4000 + 20v_C = 2400 + 30v_C$

$1600 = 10v_C$

$v_C = 160$ (m/分)

これを(1)式に代入すると、

$L = 4000 + 20 \times 160 = 4000 + 3200 = 7200$ (m)

AがBを追い越すのにかかる時間を $t$ 分とすると、

$200t = 80t + L$

$120t = 7200$

$t = \frac{7200}{120} = 60$ (分)

3. 最終的な答え

60分