問題は、与えられた不等式を満たすような値を求める問題です。具体的には、 (1) $2\sqrt{3} - \frac{10}{3} = \frac{\sqrt{アイウ} - \sqrt{100}}{3} > 0$ $\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$ の空欄「アイウ」と「エオ」を埋める。 (2) 実数 $t$ について、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であることは、$3.3 < t < 3.5$ であるための「カ」を答える。

1. 問題の内容

問題は、与えられた不等式を満たすような値を求める問題です。具体的には、

(1) $2\sqrt{3} - \frac{10}{3} = \frac{\sqrt{アイウ} - \sqrt{100}}{3} > 0$

$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$

の空欄「アイウ」と「エオ」を埋める。

(2) 実数 $t$ について、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であることは、$3.3 < t < 3.5$ であるための「カ」を答える。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$2\sqrt{3} - \frac{10}{3} = \frac{\sqrt{アイウ} - \sqrt{100}}{3}$ について考えます。

$2\sqrt{3} - \frac{10}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 10}{3}$

両辺を比較して、$\sqrt{アイウ} = 6\sqrt{3} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{108}$ であるため、「アイウ」は108。

また、$2\sqrt{3} - \frac{10}{3} > 0$ は、$6\sqrt{3} > 10$ つまり $\sqrt{108} > \sqrt{100}$ なので正しい。

次に、$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{\sqrt{49} - \sqrt{エオ}}{2} > 0$ について考えます。

$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{7 - 4\sqrt{3}}{2}$

両辺を比較して、$\sqrt{エオ} = 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48}$ であるため、「エオ」は48。

また、$\frac{7}{2} - 2\sqrt{3} > 0$ は、$7 > 4\sqrt{3}$ つまり $\sqrt{49} > \sqrt{48}$ なので正しい。

(2)

$\frac{10}{3} = 3.333...$ であり、$\frac{7}{2} = 3.5$ であるから、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ は、$3.3 < t < 3.5$ であるための十分条件ではあるが、必要条件ではない。なぜならば、例えば、$t = 3.33$ は $3.3 < t < 3.5$ を満たすが、$\frac{10}{3} < t$ を満たさないからである。しかし、$3.3 < t < 3.5$ であるならば、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ である。したがって、$3.3 < t < 3.5$ は、$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ であるための十分条件である。

$\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ ならば $3.3 < t < 3.5$ は成り立たないが、 $3.3 < t < 3.5$ ならば $\frac{10}{3} < t < \frac{7}{2}$ は成り立つので、「カ」は十分。

3. 最終的な答え

アイウ: 108

エオ: 48

カ: 十分