問題は、以下の2つの条件を満たす自然数の組 $(a, b)$ をすべて求める問題です。ただし、$a < b$とします。 (1) 最大公約数が6、最小公倍数が270 (2) 最大公約数が25、最小公倍数が900

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの条件を満たす自然数の組 $(a, b)$ をすべて求める問題です。ただし、$a < b$とします。

(1) 最大公約数が6、最小公倍数が270

(2) 最大公約数が25、最小公倍数が900

2. 解き方の手順

(1) 最大公約数が6、最小公倍数が270の場合：

2つの自然数 $a, b$ の最大公約数を $g$, 最小公倍数を $l$ とすると、$a = gx$, $b = gy$（$x, y$ は互いに素な自然数）と表せます。また、$ab = gl$ が成り立ちます。

この問題では、$g = 6$, $l = 270$ です。

したがって、$a = 6x$, $b = 6y$ と表せます。

$ab = gl$ より、$(6x)(6y) = 6 \cdot 270$ なので、$36xy = 1620$ となり、$xy = 45$ が得られます。

$x, y$ は互いに素な自然数で、$x < y$ なので、$(x, y)$ の組み合わせは $(1, 45)$, $(5, 9)$ です。

$(x, y) = (1, 45)$ のとき、$(a, b) = (6 \cdot 1, 6 \cdot 45) = (6, 270)$

$(x, y) = (5, 9)$ のとき、$(a, b) = (6 \cdot 5, 6 \cdot 9) = (30, 54)$

(2) 最大公約数が25、最小公倍数が900の場合：

この問題では、$g = 25$, $l = 900$ です。

したがって、$a = 25x$, $b = 25y$ と表せます。

$ab = gl$ より、$(25x)(25y) = 25 \cdot 900$ なので、$625xy = 22500$ となり、$xy = 36$ が得られます。

$x, y$ は互いに素な自然数で、$x < y$ なので、$(x, y)$ の組み合わせは $(1, 36)$, $(4, 9)$ です。

$(x, y) = (1, 36)$ のとき、$(a, b) = (25 \cdot 1, 25 \cdot 36) = (25, 900)$

$(x, y) = (4, 9)$ のとき、$(a, b) = (25 \cdot 4, 25 \cdot 9) = (100, 225)$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (6, 270), (30, 54)$

(2) $(a, b) = (25, 900), (100, 225)$