質量 $m$ [kg]のおもりを、軽い糸ACとBCで天井から吊るした。糸ACと鉛直線とのなす角は60°、糸BCと鉛直線とのなす角は30°である。糸ACの張力$T_A$と糸BCの張力$T_B$を、重力加速度$g$ [m/s²]を用いて求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ [kg]のおもりを、軽い糸ACとBCで天井から吊るした。糸ACと鉛直線とのなす角は60°、糸BCと鉛直線とのなす角は30°である。糸ACの張力$T_A$と糸BCの張力$T_B$を、重力加速度$g$ [m/s²]を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

点Cにかかる力を考える。

重力$mg$、糸ACの張力$T_A$、糸BCの張力$T_B$の3つの力が釣り合っている。

水平方向と鉛直方向の力のつり合いの式を立てる。

水平方向の力のつり合い：

$T_A \sin 60^\circ = T_B \sin 30^\circ$

鉛直方向の力のつり合い：

$T_A \cos 60^\circ + T_B \cos 30^\circ = mg$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$を代入して整理する。

水平方向の式の両辺に2をかけると：

$T_A \sqrt{3} = T_B$

これを鉛直方向の式に代入すると：

$T_A \frac{1}{2} + T_A \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} = mg$

$T_A \frac{1}{2} + T_A \frac{3}{2} = mg$

$2 T_A = mg$

$T_A = \frac{1}{2}mg$

$T_B = T_A \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$

3. 最終的な答え

$T_A = \frac{1}{2}mg$

$T_B = \frac{\sqrt{3}}{2}mg$