問題文は熱力学における全微分の応用に関するもので、主に以下の内容を含んでいます。 * $f(T, V, P) = 0$ という関数関係から、$dT$ の式を導出する。 * 得られた $dT$ の式と、$T = T(V, P)$ の全微分を比較して、$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P$ の式を導出する。 * 同様に、$f(T, V, P) = 0$ の全微分と、$V = V(P, T)$, $P = P(T, V)$ の全微分を比較して、$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -1$ を導出する。 * ファン・デル・ワールスの状態方程式において、$\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ を計算する。

1. 問題の内容

問題文は熱力学における全微分の応用に関するもので、主に以下の内容を含んでいます。

* $f(T, V, P) = 0$ という関数関係から、$dT$ の式を導出する。

* 得られた $dT$ の式と、$T = T(V, P)$ の全微分を比較して、$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P$ の式を導出する。

* 同様に、$f(T, V, P) = 0$ の全微分と、$V = V(P, T)$, $P = P(T, V)$ の全微分を比較して、$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -1$ を導出する。

* ファン・デル・ワールスの状態方程式において、$\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $f(T, V, P) = 0$ の全微分から $dT$ の式を導出する。

$f(T, V, P) = 0$ の全微分は以下のように書けます。

$df = \left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P} dT + \left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P} dV + \left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V} dP = 0$

$dT$ について解くと、

$dT = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}} dV - \frac{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}} dP$

(2) 上の式と $T = T(V, P)$ の全微分 $dT = \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P dV + \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V dP$ を比較する。

$dV$ と $dP$ の係数を比較すると、

$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}$

(3) 同様にして、$f(T, V, P) = 0$ の全微分から、$dV$ と $dP$ の式を導出します。

$dV = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}} dT - \frac{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}} dP$

$dP = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}} dT - \frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}} dV$

$V=V(P,T)$, $P=P(T,V)$ の全微分はそれぞれ、

$dV = \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P dT + \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T dP$

$dP = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T dV$

これらの式を比較することにより、

$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}$

$\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}$

$\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}$

$\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}$

を得る。

これらの式を掛け合わせると、

$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = \left( -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}} \right) \left( -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}}{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}} \right) \left( -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_{T,V}} \right) = -1$

(4) ファン・デル・ワールスの状態方程式 $P = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}$ より、$\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T$ を求める。

まず、状態方程式を $f(P,V,T)=0$ の形に変形する。

$f(P, V, T) = P - \frac{RT}{V-b} + \frac{a}{V^2} = 0$

$\left(\frac{\partial f}{\partial P}\right)_T = 1$

$\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_T = \frac{RT}{(V-b)^2} - \frac{2a}{V^3}$

$\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_V = -\frac{R}{V-b}$

$\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = - \frac{(\partial f / \partial P)_T}{(\partial f / \partial V)_T} = - \frac{1}{\frac{RT}{(V-b)^2} - \frac{2a}{V^3}} = \left\{ \frac{-RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3} \right\}^{-1}$

3. 最終的な答え

* $\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P = -\frac{\left(\frac{\partial f}{\partial V}\right)_{T,P}}{\left(\frac{\partial f}{\partial T}\right)_{V,P}}$

* $\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V = -1$

* $\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T = \left\{ \frac{-RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3} \right\}^{-1}$