自然数 $n$ と $200$ の最小公倍数が $4400$ であるような自然数 $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ と $200$ の最小公倍数が $4400$ であるような自然数 $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$200$ と $4400$ を素因数分解する。

$200 = 2^3 \times 5^2$

$4400 = 2^4 \times 5^2 \times 11$

$n$ の素因数分解を $n = 2^a \times 5^b \times 11^c$ とおく。

$n$ と $200$ の最小公倍数が $4400$ であることから、次の条件が成り立つ。

* $max(a, 3) = 4$

* $max(b, 2) = 2$

* $max(c, 0) = 1$

これらの条件から、$a, b, c$ の値を考える。

* $max(a, 3) = 4$ より、$a = 4$

* $max(b, 2) = 2$ より、$0 \le b \le 2$ なので、$b = 0, 1, 2$

* $max(c, 0) = 1$ より、$c = 1$

したがって、$n$ は $n = 2^4 \times 5^b \times 11^1$ の形で表され、$b$ は $0, 1, 2$ のいずれかの値を取る。

$b$ の取りうる値は3つなので、条件を満たす $n$ は3つ存在する。

3. 最終的な答え

3個